Ulogujte se / Kreirajte profil

Filozofska logika

Možemo početi izlaganjem, u ovom i sledećem poglavlju, dve pozitivne reakcije na modernu logiku. To su filozofija logičkog atomizma i filozofija logičkog pozitivizma. Da bih postavio pozadinu raspravi, usredsrediću se na delo Alfreda Nort Vajtheda [Alfred North Whitehead] i Bertranda Rasela, Principia Mathematica (tom 1-3, 1910-1913). Oni su sebi postavili dva značajna cilja. Prvi je bio, u čemu su sledili Gotloba Fregea, da pokažu da je matematika grana logike, u tom smislu što se teorija brojeva (aritmetika) može svesti na propozicije koje sadrže samo logičke pojmove, odnosno konstante, kvantifikatore, promenljive i predikate. To se nazivalo „tezom logicizma (ili logicističkom tezom)” i o njoj ćemo ubrzo govoriti. Drugi je cilj bio da se pokaže da je matematička logika jedan idealan jezik koji može da izrazi, čisto formalnom notacijom, mnoštvo raznovrsnih oblika zaključivanja i idioma, uključujući i različite vrste rečenica, koje nalazimo u običnom govoru. Radeći na ovome oni su takode želeli da pokažu kako se nejasni izrazi mogu učiniti preciznijim i kako se rečenice podložne dvostrukom tumačenju mogu učiniti nedvosmislenima na takav način da se jasno pokažu razlozi dvosmislenosti.

Ova druga namera je sjajno ostvarena u njihovoj teoriji deskripcija, koja postavlja dijagnozu tananih ali filozofski dubokih dvosmislenosti prisutnih u rečenicama čijem subjektu nedostaje referent, kao što su „Sadašnji kralj Francuske nije ćelav”. Ova rečenica se može pročitati kao da kaže „Danas postoji kralj Francuske koji nije ćelav”, ili kao da kaže „Lažno je da danas postoji kralj Francuske koji je ćelav”. (Ova razlika se može jasno izraziti simboličkim jezikom teorije kvantifikacije. Prva rečenica će biti zapisana kao [(3x) (-Fx)] a druga kao [(~3x) (Fx)].) Prva je lažna zato što se njom tvrdi da danas postoji francuski kralj, dodajući da on nije ćelav, dok je druga istinita zato što poriče da je bilo šta danas i francuski kralj i ćelavo. Razlika treba da bude objašnjena pomoću opsega znaka negacije. U prvoj rečenici on se primenjuje samo na predikat, a u drugoj na celu rečenicu. Pojam opsega će imati trajan uticaj na rad mnogih kasnijih filozofa, kao što su Markusova, Kripke i Kvajn. On je postao ključni pojam i u filozofiji jezika i u modalnoj logici.

Alfred Vajthed

Ovi impresivni rezultati su predstavljali jak dokaz u prilog tezi da je reglementiran jezik Principia jedan idealan jezik koji će pomoći rešavanju konceptualnih problema. Vajthed i Rasel su tvrdili da je opseg primena ovog jezika u filozofiji barem isto toliko veliki kao i bilo kog prirodnog jezika a da, štaviše, zbog svoje savršene jasnosti, nema njihove nedostatke. Frege je imao sličan cilj. U članku „O naučnom opravdanju pojmovne notacije” [„On the Scientific Justification of a Conceptual Notation”] on tvrdi da se običan jezik može koristiti za izražavanje emocija i izvesnih preliva značenja ali da je neadekvatan za jedan sistem demonstrativne nauke. Za razliku od Rasela i Vajtheda, koji su formalnu logiku videli kao proširenje i usavršavanje običnog govora, Frege je verovao da, uprkos izvesnim preklapanjima, postoji osnovna nekompatibilnost između formalnog i običnog jezika i da obični jezik treba izbegavati kad se bavimo logikom. Kao što je pisao:

„Izvesno je da svaki izraz u kompletnoj konfiguraciji znakova mora imati potpuno određeni smisao, ali prirodni jezici u mnogim pogledima ne ispunjavaju ovaj zahtev” (Frege 1949:86).

A u fusnoti na istoj strani on tvrdi:

„Ove fluktuacije smisla se mogu tolerisati. Ali ih treba izbegavati u sistemu demonstrativne nauke i ne bi trebalo da se javljaju u jednom savršenom jeziku.”

A malo kasnije dodaje:

Sada, nedostatak je jezika to što su u njima mogući izrazi koji, po svom gramatičkom obliku, naizgled kao da označavaju neki objekat, ali ipak ne ispunjavaju ovaj uslov u posebnim slučajevima… Treba zahtevati da u logički savršenom jeziku (logičkom simbolizmu) svaki izraz, koji je na gramatički ispravan način obrazovan kao vlastito ime iz već uvedenih simbola, stvarno i označava neki objekat, i da nijedan simbol ne bude uveden kao vlastito ime a da nismo sigurni da ima nominatum. (str. 95-96)

Za Rasela i Vajtheda, stvaranje jednog idealnog jezika koji bi se primenjivao u analizi običnog govora kompatibilno je sa pokušajem da se dokaže logicistička teza; pokušavajući da postignu prvi cilj oni su verovali da u isto vreme postižu i drugi. Pogledajmo ove povezane ciljeve, počinjući s tezom logicizma.

Teza logicizma

Očigledno je, naravno, da aritmetika koristi brojeve i dopušta poznate operacije nad njima, kao što su sabiranje i oduzimanje. U devetnaestom veku, matematičari su pokazali da se pojmovi koji se koriste u algebri i u onome što se tada nazivalo „infinitezimalnim računom” mogu definisati pomoću isključivo aritmetičkih termina. U stvari, oni su „aritmetizovali” te grane matematike svodeći njihove osnovne pojmove na prirodne brojeve i poznate operacije nad njima. Na primer, umesto da se prihvati neki imaginarni broj, recimo kvadratni koren iz minus jedan, kao misteriozni entitet, oni su pokazali da se on može definisati kao uređeni par celih brojeva (0, 1) nad kojima se mogu vršiti operacije poput sabiranja i oduzimanja. Slično tome, jedan iracionalni broj, na primer, kvadratni koren iz 2, može se definisati kao klasa racionalnih brojeva čiji je kvadrat manji od 2. Ali su Vajthed i Rasel želeli da učine i nešto više, želeli su da demonstriraju da se svi aritmetički pojmovi – drugim recima, sama teorija brojeva – mogu izvesti samo iz principa logike.

Bertrand Rasel

Teorija brojeva se zasnivala na pet postulata koje je formulisao italijanski matematičar Đuzepe Peano [Giuseppe Peano] 1889. i 1895. godine. Ovi postulati izlažu i organizuju osnovne zakone „prirodnih” brojeva (tj. pozitivnih celih brojeva) i tako predstavljaju jezgro cele matematike. Evo tih postulata:

1. Nula je broj.
2. Sledbenik bilo kog broja je broj.
3. Nijedna dva broja nemaju istog sledbenika.
4. Nula nije sledbenik nijednog broja.
5. Ako nula ima bilo koje svojstvo, i ako to svojstvo ima sledbenik bilo kog broja koji ima isto to svojstvo, tada svi brojevi imaju to svojstvo.

Rasel i Vajthed su se upustili u izvođenje Peanovih postulata, polazeći od skupa svojih vlastitih aksioma koji su svi izraženi u potpunosti logičkom notacijom. Koristeći te aksiome kao osnovu (i modus ponens kao princip zaključivanja), oni su stvorili niz kalkulusa (formalnih podsistema) sve većeg stupnja složenosti. Na kraju tog procesa bili su u stanju da izvedu Peanove postulate. Za ovaj rezultat se pretpostavlja da predstavlja dokaz logicističke teze. Kažem „pretpostavlja” zato što sistem razvijen u Principia prevazilazi elementarnu logiku i obuhvata i teoriju skupova. Skupovi su kolekcije objekata, a kolekcije su apstrakcije koje nisu ni fizičke ni konkretne. Ozbiljno je osporeno mišljenje da je teorija skupova zapravo logika u užem smislu. Jasno je da teorija skupova nije logika u smislu u kojem Frege shvata logiku, kao formalnu teoriju funkcija i svojstava. Niti je ona logika u kasnijem, užem smislu, to jest, ono što se tiče samo pravila za propozicionalne veznike, kvantifikatore i nespecifikovanih termina za individue i predikate.

S obzirom na ovo drugo shvatanje logike, neki logičari poriču da je identitet (tipično izražen simbolom „=”) deo logike. Većina logičara je prihvatila da jeste. Pa ipak, teorija skupova stvara veliki broj nefizičkih, neopazivih apstraktnih objekata koji ne pripadaju logici shvaćenoj u bilo kom uskom, formalnom smislu; tako, prema nekim kritičarima, nije postignut cilj da se Peanovi postulati izvedu čisto „logičkim” metodima. Prema tome, Vajthedovi i Raselovi rezultati u pogledu dokazivanja logicističke teze bili su i još uvek jesu sporni. Pa ipak, njihovo je postignuće od najvećeg značaja i imalo je trajan uticaj na potonji rad u logici i matematici.

Đuzepe Peano

Ali stvaranje ovih kalkulusa imalo je još jednu značajnu posledicu koja je bila više filozofska nego matematička. Rasel i Vajthed su takođe pokazali da postoji bliska veza između logike i običnog jezika. Oni su pokazali da teoremi različitih kalkulusa odgovaraju različitim vrstama iskaza i obrascima zaključivanja koje oni dozvoljavaju u običnom govoru. Ova veza je vodila shvatanju da je Principia idealan jezik za filozofsku analizu. Polje primene Rasel-Vajthedovog programa je tako šire od dokazivanja teze logicizma. O ovome ću više govoriti kasnije.

U Principia je korišćeno pet aksioma. Harvardski logičar H. M. Sefer [H. M. Sheffer] je kasnije pokazao da se oni mogu svesti na jedan, naime, na propoziciju da je p nekompatibilno sa q. Šefer je ovaj pojam simbolički prikazao kao p/q, i on je poznat kao „Seferova crta”. Iz ovog pojma se mogu izvesti drugi veznici a iz njih uobičajeni teoremi Principia. Iz p/p (p je nekompatibilno sa samim sobom) može se izvesti p/p = ~p. To sledi zato što, ako je p nekompatibilno sa samim sobom, p je lažno, te prema tome p/p = ne p. Slično tome, p ZD q znači da je p nekompatibilno sa lažnošću q, a to se može predstaviti kao p/(q/q), a (p i q) se može predstaviti kao (p/q)/(p/q), pošto, kao što smo videli, ova formula znači da su i p i q istiniti.

Peanovi postulati predstavljaju najvišu tačku sistema. Kad je data logička mašinerija razvijena u različitim kalkulusima, ovi postulati se mogu formulisati kao propozicije formalne logike i potom validno izvesti unutar sistema. Ishod je to da je pokazano da je aritmetika pravi deo (podgrana) logike. Kao što je ranije pomenuto, ova rasprava previše uprošćava istorijsku situaciju, koja je zahtevala problematične aksiome („aksiom reducibilnosti” i „aksiom .beskonačnosti”) da bi se izveli postulati. Oni koji su odbacivali aksiom beskonačnosti, kao što su Frenk Remzi [Frank Ramsey] ( 1 9 0 3 – 1 9 3 0 ) i Luicen Egbertus Jan Brouver [Luitzen Egbertus Jan Brouwer] ( 1 8 8 1 – 1 9 6 6 ) , pokušali su da razviju jednu vrstu logike u kojoj bi bili dozvoljeni samo finitistički a ne i transcendentalni metodi. Ove ideje su kasnije uticale na Vitgenštajna – ali to je složeno pitanje kojim se ovde ne možemo baviti.

Svaki kalkulus sa svojim teoremima odgovara izvesnoj vrsti rečenica koje nalazimo u običnom govoru. Teorijski, svaki tip engleske rečenice i svi obrasci zaključivanja koje njihova struktura dozvoljava mogu se izraziti sistemom Principia. Na primer, propozicionalni (rečenični, iskazni) kalkulus sastoji se od teorema čiji su sastavni delovi propozicije (tj. deklarativne rečenice), kao što su „Ulice su vlažne” i „Dž. R. Džons je visok”. Na kombinacijama ovih propozicija se vrše različite transformacije korišćenjem aksioma i modus ponensa; rezultat su složene rečenice koje su istinite u svim opisima stanja, to jest, tautologije. Zakon pojednostavljenja je primer takvog jednog teorema. U simboličkom jeziku to je ( p A q ) D p. Ono što se ovim tvrdi (u engleskom jeziku) jeste da ako su i p i q istiniti, onda je p istinito.

Zanimljivo je uporediti i suprotstaviti Principia i sholastičku logiku. Ova je bila logika termina. Uzimalo se da svaki termin označava jednu klasu, kao što su klasa ljudi, klasa smrtnika itd. (Sokrat se shvatao kao klasa koja sadrži samo jednog člana). Principia Mathematica sadrži poseban kalkulus za klase; tehnički, on pripada teoriji skupova. On se bavi ne samo pojmom inkluzije, kao što je sholastička logika u stvari činila, već takode i pojmom pripadnosti klasi, pojmom koji se ne nalazi u ranijoj logici. Četiri kanoničke rečenice sholastičke logike – „Svi S su P”, „Nijedno S nije P”, „Neki S su P” i „Neki S nisu P ” , čiji bi srpski ekvivalenti bili „Svi ljudi su smrtni”, „Nijedan čovek nije smrtan”, „Neki ljudi su smrtni” i „Neki ljudi nisu smrtni” – tretiraju se kao deo teorije kvantifikacije i stoga pripadaju funkcijskom kalkulusu (računu predikata prvog reda). Reči „svi”, „nijedan” i „neki” i izvesni ekvivalenti kao što su „postoji (ima)”, u modernoj logici se nazivaju „ k vantifikatorima ” .

Teorija kvantifikacije (predikatski račun) je teorija o obrascima zaključivanja koji dopuštaju rečenice koje sadrže kvantifikatore. Rečenice poput „Džons i Smit su se upoznali” pripadaju kalkulusu relacija, a rečenice poput „Prvi predsednik Sjedinjenih Država bio je Džordž Vašington” deo su kalkulusa deskripcija. Kroz ove sve više kalkuluse sistem postaje progresivno „bogatiji” sve dok se ne stigne do tačke na kojoj se Peanovi postulati mogu izraziti logičkim terminima i izvesti iz sistema.

Kurt Gedel

Pojam „bogatstva” će kasnije igrati suštinsku ulogu u Kurt Gedelovom [Kurt Gödel] dokazu iz 1 9 3 1 . da logički sistem dovoljno bogat da za sobom povlači Peanove postulate ne može biti potpun. Gedel je demonstrirao da bi u jeziku L, koji ima taj stepen bogatstva, bilo moguće konstruisati dobro formiranu formulu (u modernoj logici skraćeno izraženo kao dff) za koju se može dokazati da je istinita a koja istovremeno ne bi bila i teorem jezika L ako je L konzistentan sistem. Ovaj rezultat se ponekad naziva Gedelovim „prvim teoremom” i likuje se od povezane teze, naime, da se konzistentnost formalnog sistema adekvatnog za teoriju brojeva ne može dokazati unutar sistema. Ovaj korolar se ponekad takode naziva „Gedelovim teoremom” ali češće „Gedelovim drugim teoremom”. Staviše, Gedel je dokazao da bi bilo nemoguće stvoriti neki drugi sistem, koji bi imao druge aksiome i pravila i bio dovoljno bogat da se izvedu Peanovi postulati, a koji bi bio potpun.

Poenta je Gedelovog prvog dokaza to da je svaki aksiomatski sistem dovoljan za teoriju brojeva jeste suštinski nepotpun. Ovaj rezultat povlači za sobom to da ideal koji su rani matematički logičari imali pred sobom – pružiti potpunu aksiomatizaciju cele, ili bar većeg dela, matematike – mora da bude odbačen. Ovo se ograničenje domašaja aksiomatskog metoda smatra najznačajnijim teoremom matematičke logike u dvadesetom veku. Gedelov teorem se često shvata kao da ima značajne filozofske implikacije po odnos između čovekovog duha i mašina s veštačkom inteligencijom, na primer, da ljudska bića mogu da shvate i znaju matematičke istine koji nikakav kompjuter, kao što je Tjuringova [Turing] mašina, ne može da izrazi. Slažući se s tim gledištem, jedan slavni logičar je jednom duhovito rekao da Gedelov teorem demonstrira to da je ,,čovekov mozak definitivno koristan”.

Ejvrum Strol

Analitička filozofija u XX veku – “Dereta”; Beograd 2005 g.”

Prevod: Rastko Jovanović

 

 

Prethodni nastavak:

Analitička filozofija u XX veku – Ejvrum Strol

Jedan komentar na tekst Filozofska logika

  1. Vilogorski

    23/08/2017 at 08:40

    Gedel je demonstrirao da bi u jeziku L, koji ima taj stepen bogatstva, bilo moguće konstruisati dobro formiranu formulu (u modernoj logici skraćeno izraženo kao dff) za koju se može dokazati da je istinita a koja istovremeno ne bi bila i teorem jezika L ako je L konzistentan sistem.
    Poenta je Gedelovog prvog dokaza to da je svaki aksiomatski sistem dovoljan za teoriju brojeva jeste suštinski nepotpun.
    Gedelov teorem se često shvata kao da ima značajne filozofske implikacije po odnos između čovekovog duha i mašina s veštačkom inteligencijom, na primer, da ljudska bića mogu da shvate i znaju matematičke istine koji nikakav kompjuter, kao što je Tjuringova [Turing] mašina, ne može da izrazi.
    DOPUNA NAVEDENOG:
    Dejvid Hilbert je pokušavao da stvori logički neprotivurečnu aksiomatsku matenatičku logiku koja je univerzalna i neprotivurečna. Verovao je da bi tako matematiku postavio ,jednom zauvek, na neoborivo čvrste temelje, stvorivši tako jednom za svagda,zatvoren neprotivurečan matematički sistem.
    Kurt Gedel je tu nameru osporio dokazujući da je to neizbežna transcedentalna iluzija, koja je utemaljena u apriornom, i da je taj posao uzaludan. Radi se o protivurečnostima u čiju zamku obavezno upada čist matematički um kad nastoju da dođe do konačnih matematičkih istina.
    Gedelova teorema govori o sledećem – naše matematičko rasuđivanje sadrži elemente koji leže izvan čisto proračunskog postupka ili algoritamskih kauzalnih veza, prethodnika i sledbenika.
    Još je Kant tvrdio da brojavi i brojanje imaju čistu prirodu ideja jer pripadaju duhu. Po Kantu ovo daje čvrst razlog za verovanje da naše matematičko rasuđivanje sadrši elemente koji leže izvan čisto proračunskog, algoritamskog, dejstva.
    Ako je ova tvrdnja tačna, a nema dokaza da nije,onda možemo verovati da postoji oblik i oblast apriornog neproračunskog dejstva koji leži izvan domena proračuna. Tako da neizračunljivi postupci mogu biti potpuno određeni.
    Ovo nije oblast slučajnosti, koja nas često uvlači u neizbežnu zabludu.
    Treba tragati za novom teorijom neizračunljivosti koja bi nagovestila nove oblasti saznatljivosti.

Ostavite komentar

Vaša uneta email adresa neće biti javno vidljiva. Obavezna polja označena su *