Ja sam Jedan koji postaje Dva.
Ja sam Dva koji postaje Četiri.
Ja sam Četiri koji postaje Osam.
Potom sam opet Jedan.
(Pentamonov sarkofag, Muzej u Kairu)
U ovim zagonetnim stihovima skriven je odnos drevnih Egipćana prema brojevima, a koji je bio temeljno drukčiji od onoga današnje civilizacije.
Što današnjem čovjeku predstavljaju prirodni brojevi jedan, dva, tri, … do u beskonačno? Oni su apstraktne oznake kojima se izražava količina nečega. Zbog toga što im ne pridajemo neku određenu kvalitetu, podložni su svim aritmetičkim operacijama (zbrajanje, oduzimanje, množenje…). Njihov niz je diskretan i ništa se ne zna o onome što razdvaja dvije uzastopne vrijednosti.
Osim ove statične matematike drevni Egipćani su poznavali i jednu drugu, tzv. dinamičku, odnosno “živu” matematiku, matematiku prirode.
Oni su, u poznatoj nam povijesti, imali najrazvijeniji odnos prema metafizičkom i arhetipskom (idejnom), jer su smatrali da je sve što postoji i živi, uključujući i Egipat, nastalo i uvijek će nastajati od “gore”. Od najmanjih mikroorganizama pa do galaksija, sve “izlazi” iz svijeta ideja i “ulazi” u svijet materije, stvarajući tako neki od bezbrojnih oživljenih oblika, da bi se zatim, napuštajući svoj oblik, ponovno vratilo svome izvoru i “čekalo” novi ciklus manifestacije. Međutim, svijet ideja bio je i njima podjednako nevidljiv kao i nama. Da bi izrazili nevidljivo u vidljivom, stvorili su simbole. Za njih je svaki simbol bio živa veza između ta dva svijeta. Prirodni brojevi bili su upravo takvi simboli i opisivali su zakonitosti procesa prema kojemu sve nastaje, pa zatim opet nestaje.
Brojevi i stvaranje svijeta
Drevni su Egipćani poznavali broj koji mi nazivamo nulom. Nula je predstavljala krajnji uzrok svega iza kojeg nema drugog uzroka, ideju koja još nije pokrenuta. Međutim, vrlo rijetko su je imenovali jer su smatrali da čovjek nije dovoljno dostojan govoriti o skrivenom uzroku svega. Zanimljivo je da su stvaranje univerzuma koje je zabilježeno u njihovim eneadama (npr. Heliopoliskoj), prikazivali pomoću prirodnih brojeva. Brojevi Jedan, Dva, Tri, Četiri simbolički su predstavljali misterij nastanka fizičkog svijeta iz svijeta ideja i način “širenja” i “spuštanja” u materiju, a Pet, Šest, Sedam, Osam i Devet put povratka izvoru da bi nakon toga započeo novi ciklus s brojem deset.
Himna posvećena Amonu Ra, sačuvana u poznatom Papirusu Leyden, zorno prikazuje navedenu vezu između brojeva i geneze. Himna se temelji na igri riječi i brojeva, i sastoji se od dvadeset i sedam strofa koje su podijeljene u tri grupe po devet strofa. Strofe koje počinju s istim brojem u osnovi govore o istom principu, samo na drugoj razini manifestacije. Tako je tajanstveni početak stvaranja opisan u strofama koje počinju s Jedan (1, 10 i 100): “On koji je započeo početak, Amon koji je došao na početku, čija tajanstvena pojava nikome nije znana. … Bog nad bogovima, proizišao iz samoga sebe. Sva božanska bića nastala su poslije njegova postanka.” Strofe koje počinju s Dva (2, 20 i 200) govore o prvoj dvojnosti, o prvom razdvajanju jedinstva na suprotnosti koje se nadopunjuju. Strofe koje počinju s Četiri (4, 40 i 400) vezane su uz genezu na fizičkom planu: “Nevidljiva esencija stvara samu sebe.” Strofe 50 i 500, čija prva riječ “dua” znači Pet, ali i “štovati”, sadržavaju himne koje veličaju čuda Stvaranja. Strofe 70 i 700 govore o načinu oslobođenja od svih ograničenja pojavnog svijeta.
Ovakvo poimanje brojeva u Egipćana imalo je presudan utjecaj i na velikog grčkog filozofa Pitagoru koji je učio u egipatskim hramovima. Vrativši se u Grčku, osnovao je filozofsku školu čije se učenje temeljilo na broju kao arhetipu. Smatrao je da su “sve stvari uređene na temelju brojeva” i da stoga filozof koji neprestano traga za istinom mora razotkrivati i misterij brojeva.
Međutim, samo su egipatski hijerofanti posjedovali znanje o “živim” brojevima i onome što se nalazi “između” njih. Prema njihovu uvjerenju, ovi brojevi nisu zbrojivi jer bi se tako zbrajale “kruške” i “jabuke” tj. kvalitativno posve drugačije stvari. Ne može se zanemariti ni ono što čini prijelaz iz jednog broja u drugi, tj. jedne faze u drugu fazu manifestacije jer je ona neprekinuta. Ali što je to Jedan i kako postaje Dva, zatim sve ostalo, da bi na kraju opet postao Jedan? Odgovor na ovo pitanje skriven je u prošlosti jer su sačuvani uglavnom samo arheološki ostaci koji govore o korištenju brojeva u trgovini, graditeljstvu i svakodnevnom životu.
Iako je egipatska matematika bila široko primijenjena, njena sakralna namjena nema svoje zasluženo mjesto u povijesti matematike, što je u najmanju ruku nepravedno.
Označavanje brojeva
Egipćani su koristili dekadski sustav brojeva, što je i razumljivo jer on najbolje izražava spomenuto ciklično ponavljanje geneze. Za njihovo zapisivanje koristili su različite oznake u hijeroglifskom, hijeratskom i demotskom pismu. Hijeroglifsko pismo služilo im je uglavnom za sakralnu matematiku, a ostala dva za svjetovnu tj. računsku matematiku. U sva tri pisma posebno su označavali samo “istaknute” brojeve dekadskog sustava, a da bi zapisali neki proizvoljni broj, ponavljali su ga najviše devet puta. Smjer pisanja i čitanja tekao je s desna na lijevo tj. obrnuto od današnjeg načina.
Princeza Nefertiabet, IV. dinastija, stela iz Muzeja Louvre. Princeza prikazana pored stola sa žrtvenim prinosima odjevena je kao svećenica u leopardovu kožu te podsjeća na drevnu egipatsku božicu Sešat, božicu znanja, mudrosti i pisanja te zaštitnicu astronomije, astrologije, gradnje, matematike i općenito znanosti.
U hijeroglifskom pismu “jedan” su označavali vertikalnom crtom, “deset” obrnutim slovom U, “sto” spiralom, “tisuću” simbolom lopoča, “deset tisuća” prstom, “sto tisuća” guštericom, a “milijun” čovjekom koji uzdiže ruke prema nebu. Ovaj potonji je ujedno korišten i kao simbol za beskonačno. Zanimljivo je da jedan zidni zapis o vojnom pohodu 3300. g. pr.Kr. spominje brojku od milijun četiri stotine dvadeset i dvije tisuće (1.422.000), što još više pobuđuje pažnju ako se prisjetimo da su stari Grci imali oznake za brojeve do deset tisuća, a da se pojam milijun u našoj civilizaciji pojavio tek u drugoj polovici 14. stoljeća.
Matematički “priručnici”
Otkriće i dešifriranje dvaju znamenitih papirusa s matematičkim sadržajem rasvijetlilo je, ali i zapečatilo “službenu” povijest o matematičkim dostignućima Egipćana. Razlog tome je njihova sličnost s današnjim matematičkim priručnicima u kojima su, bez objašnjavanja i dokazivanja kako se do toga došlo, dani gotovi “recepti” za rješavanje različitih matematičkih problema.
Prvi od tih papirusa se naziva Ahmesov papirus, prema pisaru koji ga je sastavio oko 1650. g. pr. Kr. Papirus je dug šest metara, širok trideset centimetara i opisuje oko osamdeset i pet različitih matematičkih problema. Drugi je tzv. Moskovski papirus, jer se čuva u Puškinovu muzeju, i datira iz 1850. g. pr. Kr. Dugačak je šest metara, širok osam centimetara i sadrži dvadeset i pet matematičkih problema. Oba su pisana hijeratskim pismom koje su egipatski pisari najčešće koristili za zapisivanje stvari iz svakodnevnog života.
Ahmesov rukopis nosi zanimljiv naslov: “Upute za poznavanje svih tajni koje su sadržane u stvarima”, što govori u prilog tome kako je egipatskim svećenicima i pisarima matematika, iako korištena u praktične svrhe, prvenstveno je služila za upoznavanje skrivene biti stvari.
Egipatska matematika uglavnom se temeljila na dijeljenju, zbog već opisanog razumijevanja brojeva kao nečeg jedinstvenog. Oni su, dakle, govorili o cjelini i njezinim dijelovima, a to su bilježili tako da su na mjesto brojnika pisali hijeroglif “Horusova oka”, koji simbolizira sposobnost viđenja cjeline, a u nazivnik broj koji govori o kojem dijelu cjeline se radi. Imali su posebne tablice za rastavljanje različitih razlomaka na zbrojeve korijenskih razlomaka, tj. razlomaka u čijim se brojnicima nalazi jedan. Na primjer, razlomak osam petnaestina, 8/15, oni bi predočili kao zbroj od jedne trećine i jedne petine, jer je 1/3+1/5 = 8/15. Tako predočenim razlomcima Egipćani su vrlo vješto računali. Jedino su za 2/3 imali poseban hijeroglifski znak.
Egipćani su množili na vrlo iznenađujući način, što je u Ahmesovom papirusu prikazano na primjeru 45 x 13. Jedan od množitelja, u ovom slučaju 13, množili su s višekratnicima broja dva, tj. s 1, 2, 4, 8, 16 i 32, i zbrajali one umnoške od kojih zbroj višekratnika od dva daje 45, što možemo pisati kao 13 x (20 + 22 + 23 + 25) = 13 x (1 + 4 + 8 + 32) = 585. Mogli bismo reći da su množili u binarnom sustavu, poput današnjih računala.
Kao primjer načina računanja potencija i zbrajanja, Ahmes iznosi sljedeći zadatak. Neko imanje sadrži sedam zgrada. U svakoj od njih je sedam mačaka. Svaka od njih je pojela sedam miševa, od kojih je svaki pojeo sedam zrna pšenice. A svako bi zrno moglo dati sedam mjerica žita. Koliko bi na imanju bilo ukupno zgrada, mačaka, miševa, zrna pšenice i mjerica žita? Rješenje je: 7 zgrada, 49 mačaka, 343 miševa, 2401 zrna, 16807 mjerica što ukupno iznosi 19607. Isti je problem rješavao i slavni Fibonacci, samo tri tisuće godine kasnije.
Jedan od zadataka čije je rješenje začudilo prevoditelje glasi ovako: Ako zbroj nepoznatog broja nekih stvari i njihove sedmine iznosi 19, koliki je broj stvari?
To bi danas zapisali kao linearnu jednadžbu s jednom nepoznanicom:
Egipćani su to rješavali na sljedeći način. Pretpostavili su za rješenje npr. 7, sedmina toga je 1, a rješenje koje se tako dobije je 8, znači pogrešno. Ahmes, međutim, ispravno podučava svoje učenike kako trebaju povećati neispravno pretpostavljeni broj, u ovom slučaju 7, onoliko puta koliko iznosi omjer traženog i dobivenog broja (u ovom slučaju 19/8).
Ovaj način proračuna počeo se često koristiti na kraju 20. stoljeća pojavom računala. Koristi se u vrlo složenim elektrotehničkim proračunima linearnih jednadžbi, jer se na ovakav način do rješenja dolazi znatno jednostavnije negoli egzaktnim matematičkim metodama.
Za izgradnju veličanstvenih hramova i piramida bilo je potrebno i veliko znanje iz geometrije, o čemu svjedoče sljedeći opisi.
Poznavali su poseban slučaj geometrijske zakonitosti, danas nam znane kao Pitagorin poučak, prema kojemu je trokut s katetama tri i četiri, i hipotenuzom pet, pravokutan trokut. To im je služilo za određivanje pravog kuta, bez kojeg je nezamislivo bilo kakvo graditeljstvo.
Na jednom zidu hrama u Edfuu ostao je sačuvan način izračunavanja površine trapezoida i to množenjem poluzbrojeva nasuprotnih stranica. Formula nije potpuno točna, ali greška je manja od dva posto.
U Moskovskom papirusu prikazano je najveće dostignuće egipatske geometrije, proračun volumena krnje pravilne četverostrane piramide, iako ne egzaktnom formulom kako smo navikli:
nego opisno, ali potpuno ispravno kao na slici niže.
Za ilustraciju znanja i matematičke preciznosti egipatskih graditelja spomenimo “samo” neke činjenice: savršenu orijentaciju hramova prema stranama svijeta, dva milijuna kamenih blokova teških do pedeset četiri tone koji su ugrađeni u Veliku piramidu u Gizi s takvom preciznošću da se ni vlas kose ne može ugurati između njih. Uz to, pravi kutovi piramide su točni do ispod jedan posto, a stranice koje su dugačke dvjesto trideset metara u dužini se razlikuju samo za dvadeset centimetara.
Ahmesov papirus (XV. dinastija, oko 1650. g. pr. Kr.) prikazuje matematičke proračune starih Egipćana i prijepis je još starijeg papirusa iz XII. dinastije.
Egipćani su poznavali i iracionalni broj π, vezu između opsega i promjera kružnice. Sam način računanja je također zanimljiv jer su koristili tijekom tolikih stoljeća spornu “kvadraturu kruga”. Kvadrat stranice a = 16 ima istu površinu kao i krug polumjera r = 9, što bi prema današnjoj formuli izgledalo ovako:
r2 π = a2
odakle slijedi egipatski π
“π” = (a/r)2 = (16/9)2
koji približno iznosi 3,1605
U odnosu na 3,14159 pogreška je manja od jedan posto!
Ako su na samo dva papirusa ostala zapisana i sačuvana tolika znanja, ne možemo ni pretpostaviti što je sve bilo pohranjeno na desetinama tisuća papirusa koji su spaljeni u Aleksandrijskoj knjižnici. To nas podsjeća na dubinu kulturnog sloma antike nakon kojeg se toliko toga moralo, i još uvijek mora, ponovno otkrivati.
Povjesničari znanosti dosad nisu iznašli kako su Egipćani došli do tako visokog stupnja spoznaje. No, ne bi li možda bilo još važnije imati na umu za što i kako su oni ta znanja koristili? Poznato je da su puno veću pozornost poklanjali podizanju hramova i svetišta negoli izgradnji kuća i predmeta za svakodnevnu uporabu. Pritom su se ravnali prema matematičkim kanonima, pokušavajući uspostaviti sklad između Univerzuma, Hrama i Čovjeka.
