Канторов парадокс

У овом кратком раду подсетићемо на једног од најважнијих савремених математичара и филозофа, творца теорије скупова – Георга Кантора (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor). Нећемо се бавити целокупним Канторовим стваралаштвом, али ћемо се позабавити једним његовим филозофски релевантним делом, а то је Канторов парадокс.

Георг Кантор је живео од 1845. до 1918 године. Рођен је у Санкт Петерсбургу. Математику је студирао у Цириху и Берлину. У Берлину је похађао предавања код најважнијих математичара тог времена – Ернста Кумера, Карла Вајерштраса и Леополда Кронекера (са којим ће касније доћи у лични и професионални сукоб). Још један велики савремени филозоф је студирао математику код двојице, од поменуте тројице математичара (Вајерштраса и Кронекера) – Едмунд Хусерл. Док је Хусерла пут даље водио преко Франца Брентана ка феноменологији, Кантор је цео свој радни век провео истражујући у две математичке области – теорији бројева и теорији скупова, и у обе је оставио запажене резултате. Преломни моменат у његовом животу је било познанство са Рихардом Дедекиндом, који је покушавао да дефинише скуп реалних бројева, и који је Кантора подстакао на истраживања у том пољу. Из тог периода његовог рада најважније достигнуће је доказ непребројивости скупа реалних бојева (R) («дијагонални аргумент»). Теорија скупова и теорија бројева нису одвојене области, него се, напротив, преплићу. Кантор је бројеве истраживао преко скупова бројева – природних, целих, рационалних, реалних, …, и дошао до важних резултата. Нас занима његов парадокс, и сходно томе, из опште теорије скупова ћемо издвојити само оне појмове који су нам неопходни за разумевање те теме.

Теорија скупова је математичка теорија која се бави скуповима и важи за темељну математичку област (ону на којој се базирају друге области математике; нпр, преко скупова се могу дефинисати релације, функције, итд). Природа скупова је, попут природе бројева или функција, нешто око чега су у математици и филозофији математике мишљења подељена. Неки филозофи сматрају да су скупови посебна врста математичких објеката а други то негирају, тврдећи да скупови нису објекти већ људски конструкти. Дакле, реч је о онтологији математике чији је предмет природа математичких објеката. Онтолошка питања су повезана са епистемолошким и методолошким. На пример, ако сматрамо да скупови постоје независно од наше свести, онда нам се намеће питање како их сазнајемо. Или је случај обрнут, ако заузмемо одређену епистемолошку позицију, отвара се питање онтолошког статуса предмета нашег сазнања. Такође, и тиме ћемо завршити ову кратку напомену из филозофије математике, на овом нивоу разматрања математичких питања није саморазумљиво шта је доказ или шта је математичка операција. Кроз школовање смо усвојили одговарајући математички језик и правила која користимо не доводећи их у питање. Бројили смо и рачунали, али се нисмо питали шта су бројеви. Цртали смо геометријска тела, израчунавали њихове површине и запремине, али смо се ретко питали шта су тачке, праве, равни. А када се упитамо шта је број, шта је тачка, шта је доказ, шта је скуп, онда смо на прагу филозофије математике. На било које од ових питања и покушај његовог одговора надовезује се мноштво филозофских питања и проблема везаних за језик и значење (семантика), природу или начин постојања објеката (онтологија), знање, оправдање и истину (епистемологија), примену математичких знања на стварност, утемељење или заснивање математике, и слично.

Скуп је основни појам идеалне теорије скупова, појам од кога се полази и он се не дефинише (већ се описује или интуитивно разумева). Скуп треба схватити као колекцију (збир) објеката који поседују неку особину.

S = { x : x има особину A} = { x : j(x) }, где j(x) значи да x има неку особину, на пример A,

Пример:  S = { x : x је столица} је скуп свих столица.

Теорија скупова о којој овде говоримо се обично назива Канторовом, класичном, идеалном или наивном теоријом скупова (сва имена су у употреби), и она је касније замењена тзв. аксиоматском теоријом скупова (којом се поједини парадокси избегавају). Ова потоња се још назива ZF теорија скупова, по почетним словима имена њених твораца – Цермела и Френкела. Иако у свом првобитном облику није излагана путем аксиома, за Канторову теорију скупова не можемо рећи да је неаксиоматска, јер се састоји из две аксиоме:

(1) аксиома екстензионалности (обухватности) – два скупа су једнака само у случају да су им елементи исти (“x)(“y)((“z)(zÎx Ù zÎy) Û x=y)

(2) аксиома компрехензије (издвајања) – за свако својство постоји скуп који чине само они објекти који имају то својство ($y)(“x)(xÎy Û j(x)). Ова аксиома је извор парадокса.

На место j(x) може доћи било које својство (због тога испред стоји универзални квантификатор “): x је сто, x је непаран број,x је планета Сунчевог система или x је скуп који није члан самог себе (Раселов парадокс). Скуп може бити дефинисан и преко негативних својстава, као што је на пример својство x није столица (то ће бити скуп свих објеката који нису столице тј. немају својство бити столица (у том случају можемо да ограничимо домен на метеријалне објекте или да допустимо да у њега уђу и апстрактни објекти)).

Битно је напоменути да Кантор није систематски изложио ову теорију, али је каснијим реконструкцијама утврђено да се она налази у позадини свега што је радио. Две аксиоме које смо навели (уз аксиому избора, о којој овде неће бити речи јер за проблематику парадокса није релевантна) су само другачији запис онога што је Кантор у свом раду подразумевао.

Основне операције са скуповима су подскуп, унија, пресек, разлика, комплемент,…, и њих овде нећемо изводити, већ ћемо их као најосновније претпоставити. Неке друге ћемо, ради могућности праћења текста, морати да објаснимо. Једна од особина скупова је њихов кардинални број (или кардинал, кардиналност).

Дефиниција кардиналног броја: Кардинални број неког скупа X је број елемената тог скупа и обележава се са |X|.

Да бисмо схватили Канторов парадокс морамо прво увести Канторову теорему, а да бисмо њу увели неопходан нам је појам партитивног скупа.

Дефиниција партитивног скупа: Партитивни скуп скупа X је скуп свих подскупова скупа X.

P(X) = {Y : Y Í X}  

(у овој формули Í значи подскуп (један скуп је подскуп другог ако се сваки елемент из првог садржи у другом скупу))

На пример, партитивни скуп скупа {1, 2, 3} је следећи скуп {{1},{2},{3}, {1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},Æ}. Поред свих комбинација наведена три елеманта скупа у његов партитивни скуп улази и празан скуп (Æ), јер је празан скуп подскуп сваког скупа. Овај пример ће нам послужити да дођемо до Канторове теореме. Посматрајмо два наведена скупа – скуп и његов партитивни скуп. Какав је однос њихових кардиналних бројева? У наведеном примеру, кардинални број скупа је мањи од кардиналног броја његовог партитивног скупа. То је управо оно што се Канторовом теоремом тврди за сваки скуп – сваки скуп има мање елеманата него његов партитивни скуп.

Канторова теорема : За сваки скуп X важи |X| <  |P(X)|

Доказ: Најпре размотримо шта тачно треба да докажемо. Треба доказати да један скуп има мање елемената од другог. То се може урадити на више начина и ми смо одабрали један од њих. Начин доказивања који ћемо користити познат је под називомreductio ad absurdum (свођење на апсурд). Ако претпоставимо да је први скуп домен а други кодомен, и формирамо функцију f : X → P(X), онда треба доказати да ова функција није «на» или сурјекција (а то значи да не важи следеће – да за “xÎX,  ∃y ÎP(X) и да важи  f (x) = y, или, другачије речено, да се у сваку слику (елемент) кодомена пресликао неки оргинал). Пођимо од супротне претпоставке – претпоставимо да је наведена функција сурјекција. Зашто ово претпостављамо? Уколико је функција сурјекција, једине две могућности односа елеманата ова два скупа биле би – или скупови имају исти број елемената, или скупX има више елемената од P(X). Али, уколико функција није сурјекција, онда је доказана Канторова теорема, јер у том случају кодомен (P(X)) има више елеманата од домена (X). Претпоставимо, дакле, да је функција f : X → P(X) сурјекција. Ако је то случај, онда за скуп А = { a : a Î А Ù а Ï f (а)} Í X, и који је, као подскуп X-а елемент скупа P(X), значи, за тај скуп као елементP(X) (А Î P(X)) постоји елемент x Î X такав да је f (x) = А (то следи из дефиниције сурјекције, која важи по претпоставци). Рекли смо да је скуп А Í X, а сада тражимо  x Î X такав да је f (x) = А (у првом случају А је подскуп домена, а у другом елемент кодомена). Постоје две могућности – или је x Î А  или x Ï А (овде се мисли на А као подскуп домена). Ако је  x Î А, онда следи да x Ï А зато што су елементи скупа А само они који нису елементи својих слика из кодомена, а x  као елемент А то не задовољава јер је дефинисан тако да је f (x) = А (тј. он је елемент А). Са друге стране, ако x Ï А, онда x мора бити елемент скупа (елемента кодомена) коме је придружен (слободније речено, мора бити елемент своје слике), а то је скуп А. То следи из почетног одређења скупа А [А = { a : a Î А Ù а Ï f (а)} Í X], чији су елементи само они елементи скупа X који нису елементи својих слика, одакле можемо закључити да сви други елементи скупа X (који не припадају скупу А) припадају својим сликама из кодомена. Као што видимо, дошли смо до противречности: Ако је x Î А, онда следи да x Ï А и ако важи x Ï А, онда следи да је x Î А. Због тога негирамо претпоставку од које смо кренули – функција f : X → P(X) није сурјекција, а то значи да је |X| <  |P(X)|.

У каквој су вези Канторова теорема и Канторов парадокс? Управо смо изложили доказ теореме којом се тврди да за сваки скуп важи да је кардиналност његовог партитивног скупа увек већа од његове кардиналности. Међутим, постоји скуп код кога то није случај. Узмимо скуп свих скупова (S) (у идеалној теорији скупова то је исправан скуп, дефинисан преко својства „бити скуп“) и његов партитивни скуп P(S). Према Канторовој теореми, однос њихових кардиналности би требало да је следећи:

            |S| < |P(S)|

Међутим, то је немогуће пошто је P(S) Í S (јер се сви чланови скупа P(S) морају садржати у S), а то значи да, према дефиницији подскупа, мора да важи |P(S)| < |S|). За P(S) важи и да је елемент скупа S, као скупа свих скупова – P(S) Î S. Слободније речено, Канторов парадокс се састоји у следећој противречној тврдњи – постоји скуп који је већи од највећег скупа (у овој формулацији смо величину скупова (бити већи) поистоветили са њиховом кардиналношћу (имати већи кардинални број)).

Канторова теорија скупова и Раселов парадокс

Канторова или наивна теорија скупова је једна веома значајна математичка и логичка теорија, ако ни због чега другог онда због тога што је покренула велики број питања значајних за математику, логику и филозофију.

То је једна интуитивно прихватљива и здраворазумска теорија. Она полази од две основне претпоставке које ћу овде изложити као одговоре на два питања:

1. Шта је то скуп?
2. Шта је то елемент скупа?

Скуп је било која колекција неких објеката или ентитета који имају одређену особину. Сваки ентитет који има ту особину је члан или елемент датог скупа. Особине могу бити задате као позитивне (нпр. скуп свих ентитета који имају особину да су столице је скуп свих столица) или као негативне (нпр. скуп свих ентитета који имају особину да нису чаше; том скупу ће припадати све што није чаша: људи, столице, столови…). Дакле, када је у питању појам скупа ради се о некаквом скупљању или окупљању (елементи припадају одговарајућем скупу). Оваква концепција делује интуитивно и непроблематично. Међутим, крајем 19-ог и почетком 20-ог века појавили су се логички парадокси, који су уздрмали ово интуитивно схватање скупа. Најпознатији парадокс је Раселов парадокс. Бертранд Расел је савремени енглески филозоф који је познат по својим логичким истраживањима (која су усмерена на изградњу идеалног језика). Покушавајући да реши проблеме на пољу теорије значења и не прихватајући Фрегеово и Мајнонгово решење тих проблема, Расел је сматрао да је, будући да је извор филозофских проблема у непрецизности и вишесмислености природног језика, потребно преводити природни језик на логички. Тај метод се зове метод логичке анализе и уз помоћ њега се, према Раселовом мишљењу, могу решити многи филозофски проблеми. Расел је у својим истраживањима открио парадокс који се по њему назива Раселов. Овај парадокс подрива темеље дотадашње теорије скупова и натерао је многе логичаре да раде на унапређењу теорије скупова. У чему се састоји Раселов парадокс?

Из наведене дефиниције скупа следи да се може формирати скуп елемената који имају једну заједничку особину. Формирајмо један такав скуп чији ће елементи бити сви скупови који имају особину да не садрже сами себе.

R = {S такво да S Ï S}

Да ли је скуп R члан самог себе?  Ако скуп припада самом себи, онда не задовољава особину којом је скуп дефинисан (па према томе не може ни ући у дефинисани скуп, дакле не припада самом себи). Ако скуп не припада самом себи, онда задовољава наведену особину и припадаће самом себи. У покушају да се одговори на питање Да ли скуп свих скупова који не садрже себе садржи себе?, долази се до контрадикторног закључка – ако скуп не припада/припада самом себи, онда скуп припада/не припада самом себи.

S Î R Û S Ï S (S припада R ако и само ако S не припада самом себи). То следи из одређења или дефиниције скупа R (R = {S такво да S Ï S})

Када уместо S заменимо R (а то радимо јер се питамо да ли је скуп R члан самог себе, тј. питамо се да ли је R међу оним скуповима S који сачињавају скуп R и не припадају самима себи (S Ï S)) добијамо:

R Î R Û R Ï R, односно: 

(R Î R Þ R Ï R)  Ù (R Ï R Þ R Î R) (еквиваленција изражена помоћу импликације и конјукције)

Ако R Î R, онда R Ï R, и ако R Ï R, онда R Î R, а оба случаја су противречна због закона искључења трећег:

R Î R Ú R Ï R  (такозвани “закон искључења трећег” (А Ú ØА) је таутологија – формула која је увек истинита)

Сам Расел је решавајући овај парадокс дао решење у виду своје теорије типова, чија је основна поента у ограничењу шта све може бити члан једног скупа. Првом типу припадају скупови основних ентитета. Скупови који садрже скупове првог типа су скупови другог типа итд. Идеја је да скуп одређеног типа може као своје елементе садржати само скупове нижих типова, а никако свог или виших типова, па уколико теорија садржи ту забрану, онда се не можемо питати да ли је скуп R члан самог себе? Расел је, откривши парадокс, писао Фрегеу који је радио на својој књизи Основи аритметике и покушавао да прецизира Канторову теорију скупова. Фреге је након овога схватио да његова теорија води у противречност. Постоје логичари (тзв. интуиционисти) који су парадокс решавали тако што нису прихватали закон искључења трећег. Раселов парадокс је најпознатији и најзначајнији управо због тога што је његово откриће уздрмало математику и логику с почетка двадесетог века, али далеко од тога да је једини. У то време појавило се низ сличних парадокса који су потврдили проблеме са дотадашњом теоријом скупова: Бурали-Фортијев (који је објављен пре Раселовог, али није имао такав утицај), Канторов (који говори о универзалном скупу тј. скупу свих скупова), Ришардов, Беријев, Грелингов…а они се деле на логичке (као што је Раселов) и семантичке (као што је Грелингов). Најједноставније речено, семантички парадокси се не тичу скупова него речи и њихових значења.

За крај ћу изложити Грелингов парадокс како бисмо јасније увидели ову разлику између две врсте парадокса. Он се може изложити у више варијанти али суштина је иста. Разликују се две врсте придева: хетерологични, они који не говоре о себи (брз, хладан, једносложан, дуг итд) и аутологични, они који говоре о себи (кратак, вишесложан, изрецив, милозвучан итд).

Поставимо питање – да ли је придев “хетерологичан“ хетерологичан? Као тест аутологичности придева питамо се нпр. да ли је „кратак” кратка реч? Ако је одговор “да” онда је придев аутологичан, а ако је одговор “не” онда је хетерологичан. Ако се, аналогно томе, питамо да ли је “хетерологичан“ хетерологична реч, онда добијемо парадоксалан закључак – ако јесте, онда је аутологична, а ако није, онда је хетерологична. Дакле, ако наведени придев јесте хетерологичан, онда није хетерологичан (већ аутологичан), а ако није хетерологичан, онда јесте хетерологичан.

Да ли је придев “хетерологичан“ хетерологичан?

Да (јесте хетерологичан).Онда је аутологичан (јер говори о себи).

Не (није хетерологичан). Онда је хетерологичан (јер не говори о себи).

Ave Philosophy! Moriture te salutant”

Tekstovi o nauci na portalu P.U.L.S.E

  Društvo, Frege, Kantor, Matematika, Nauka, Rasel, teorija skupova