Platonova tela

“Pravilna” tijela su provokativno malobrojna, ali ova kvantitativno skromna skupina uspjela je ući u dubine raznih znanosti.
L. Carroll

Ljude su oduvijek zanimali poliedri. U prirodi se neka pravilna i polupravilna tijela pojavljuju kao kristali, a druga kao virusi koji se mogu istražiti elektronskim mikroskopom. Što je, onda, poliedar? Poliedar je dio prostora koji je omeđen kona­čnim brojem planarnih ili ravninskih poligona.

Znanstvenike već dugo zanimaju „idealni“ ili pravilni poligoni (mnogokuti), odnosno poligoni jednakih stranica i jednakih kuteva. Jednakostranični trokut može se smatrati najjednostavnijim pravilnim poligonom zato što ima najmanji broj stranica koje mogu omeđivati dio ravnine. Geometrijski likovi, kao što su već spomenuti jednakostranični trokut, kvadrat, peterokut, šesterokut, osmerokut, deseterokut, itd., dat će nam potpunu sliku o pravilnim poligonima koji nas zanimaju. Očigledno je da teoretski ne postoji ograničenje broja stranica pravilnog poligona, što znači da je broj pravilnih poligona neograničen.

Što je pravilni poliedar? To je poliedar čije su sve strane11 (plohe) jednake (ili sukladne) jedna drugoj i pravilni su poligoni. Koliko ima pravilnih poliedara? U XIII. knjizi Euklidovih Elemenata posvećenoj pravilnim poliedrima, ili Platonovim tijelima (Platon ih je razmatrao u dijalogu Timej), nalazimo čvrste dokaze da postoji samo pet pravilnih poliedara i samo tri vrste pravilnih poligona koji mogu biti njihove strane: trokuti, kvadrati i peterokuti. Ti pravilni poliedri, ili Platonova tijela, kako ih se još naziva, prikazani su na slici 1.

.

Povijest

Ovih pet pravilnih poliedara bilo je poznato i korišteno i prije Platonova vremena. U svojoj knjizi Vrijeme stoji (Time Stands Still) Keith Critchlow iznosi uvjerljiv dokaz da su bili poznati neolitskim narodima Britanije najmanje tisuću godina prije Platona. To se temelji na činjenici o postojanju velikog broja kamenja sfernog oblika koje se čuva u muzeju Ashmolean u Oxfordu. To kamenje, veličine šake, bilo je prekriveno gravurama preciznih geometrijskih sfernih verzija kocke, tetraedra, oktaedra, ikosaedra i dodekaedra, kao i nekim dodatnim složenim i polupravilnim tijelima kao što su kocka – oktaedar i ikosadodekaedar.

Platonov suvremenik Teetet iz Atene (417. – 369. g. pr. Kr.) dao je matematičku definiciju pravilnog poli­edra i prvi poznati dokaz da ih ima točno pet.

U svom Timeju Platon tvrdi da su četiri osnovna elementa Zemlja, Zrak, Vatra i Voda te da je svaki od njih povezan s jednim trodimenzionalnim oblikom. Tradicija povezuje kocku sa Zemljom, tetraedar s Vatrom, oktaedar sa Zrakom, a ikosaedar s Vodom. Platon spominje “neki peti element” kojim se koristio Demijurg u stvaranju Univerzuma. Tako je posljednji, peti poliedar, dodekaedar, povezan s petim elementom, Eterom. Prema Platonu Organizator Univerzuma uspostavio je red iz prvobitnog kaosa tih elemenata pomoću osnovnih oblika i brojeva. Uvođenje reda prema broju i obliku na višoj razini dovelo je do nastanka tih pet elemenata u manifestiranom univerzumu. Osnovni oblici i brojevi počinju se zatim ponašati kao poveznica između višeg i nižeg svijeta. Oni sami, i zbog svoje analogije s drugim elementima, imali su mogućnost oblikovati materijalni svijet.

Tih istih pet pravilnih tijela u skladu s klasičnom tradicijom prikazano je tako da su sadržani u devet koncentričnih sfera, a svako tijelo dodiruje sferu opisanu oko sljedećeg tijela koje se nalazi unutar te sfere. Takva kompozicija otkriva niz važnih odnosa i posuđena je iz discipline pod nazivom corpo transparente, povezane s percepcijom sfera koje su načinjene od prozirnog materijala i smještene jedna u drugu. Tu disciplinu stvorio je fra Luca de Pacioli, a preuzeli su je mnogi velikani renesanse, uključujući Leonarda i Brunelleschija.

U knjizi Tajna svijeta (Mysterium Cosmographicum), koja je objavljena 1596. godine, Johannes Kepler sugerirao je da postoji veza između pet Platonovih tijela i šest planeta Sunčeva sustava koji su bili poznati u to vrijeme. Prema toj hipotezi, kocka (heksaedar) može se upisati u sferu Saturnove orbite, a ta je kocka opisana oko sfere Jupiterove orbite. Ta je pak sfera opisana oko tetraedra koji je opisan oko sfere Marsove orbite. Sfera Marsove orbite opisana je oko dodekaedra u koji je upisana sfera Zemljine orbite. A naša je orbita opisana oko ikosaedra u koji je upisana sfera Venerine orbite. Venerina sfera opisana je oko oktaedra, u koji je upisana Merkurova sfera. Takav model Sunčeva sustava naziva se Keplerova kozmička šalica. Kepler je nesklad od nekoliko postotaka između njegova modela i stvarne veličine orbita objasnio „utjecajem materije“.

U XX. stoljeću Robert Moon u svojoj teoriji poznatoj kao “Moonov model”, upotrebljava Platonova tijela u modelu elektronske ljuske. Moon je primijetio da se geometrijski raspored protona i neutrona u atomskoj jezgri odnosi na položaj vrhova umetnutih Platonovih tijela. Taj koncept inspiriran je Keplerovom knjigom Mysterium Cosmographicum.

.

Matematička svojstva

Eulerova formula za poliedar:

S+V=B+2

U ovoj formuli, S je broj strana, V je broj vrhova, a B je broj bridova. Te numeričke karakteristike za Platonova tijela dane su u Tablici 1.

Važni odnosi između bridova, promjera upisanih i opisanih sfera, površine i obujma pravilnih poliedara izraženi su iracionalnim brojevima. Tablica u nastavku pokazuje omjer duljine bridova i promjera sfere opisane za svako Platonovo tijelo.

Svaki rezultat je iracionalan broj koji možemo dobiti tek kada pronađemo kvadratni korijen. Vidimo da se ovdje pojavljuju brojevi √2, √3, √5 koji su važni i posebni u sakralnoj matematici.

Geometrija dodekaedra i ikosaedra odnosi se na zlatni rez. Zaista, strane dodekaedra pravilni su peterokuti na osnovi zlatnog reza. Ako pažljivo pogledate ikosaedar, možete vidjeti da se pet trokuta spaja na svakom vrhu, a njihove vanjske strane formiraju peterokut. Zlatni rez ima značajnu ulogu u izgradnji ta dva Platonova tijela, što dokazuju gore spomenute činjenice. Ova dva tijela inverzna su jedan drugom: oba se sastoje od trideset bridova, nadalje, ikosaedar ima dvadeset strana i dvanaest vrhova, a dodekaedar ima dvanaest strana i dvadeset vrhova. Također, oktaedar i heksaedar inverzni su jedan drugom, a tetraedar je sam sebi inverzan.

.

Primjeri u prirodi

Pravilan poliedar može se naći u prirodi. Početkom XX. stoljeća Ernst Haeckel opisao je niz organizama čiji kosturi imaju oblik raznih pravilnih poliedara. Kostur jednostaničnog organizma zrakaša (lat. Circogonia icosahedra) u obliku je ikosaedra. Većina ih živi duboko u vodi i plijen su koraljnim ribama i zato se pokušavaju obraniti pomoću dvanaest šupljih bodlji iz dvanaest vrhova kostura. Žalci na vrhovima bodlji čine ih još učinkovitijim u obrani.

Većina virusa, poput virusa herpesa, imaju oblik pravilnog ikosaedra. Virusne strukture sastoje se od ponovljenih proteinskih subjedinica, a ikosaedar je najpogodniji oblik za reprodukciju tih struktura.

Kristalne rešetke mnogih minerala imaju oblik Platonovih tijela.

Dobivanje sumporne kiseline, željeza, specijalnih vrsta cementa ne može se osigurati bez sumpornog pirita (FeS). Kristali tog kemijskog sastava imaju oblik dodekaedra. Mineral silvin (silvit) ima kristalnu rešetku u obliku kocke. Kristali pirita imaju oblik dodekaedra, a kuprit formira kristale u obliku oktaedra.

Platonova tijela vrlo su važan predmet proučavanja sakralne matematike i prirodnih znanosti. Pojavljuju se svugdje: od virusa, od kojih mnogi imaju ikosaedarski oblik, do složenih makrostruktura kao što je, na primjer, Sunčev sustav.

Autor: Anton Musulin
S engleskog prevela: Valentina Šaranović

Nova Akropola

Tekstovi o nauci na portalu P.U.L.S.E

  Društvo, geometrija, Nauka, Nova Akropola, Platon