Verovatno ste nekada naišli u tekstovima ili ste negde čuli za izraz reductio ad absurdum, a i ako niste, najverovatnije ste bar jednom do sada rekli ”Ako je on to uradio, onda sam ja egipatski faraon”, ili ”Ako je to istina, onda prasci lete”, ili nešto tome slično. Kakve veze prasci imaju sa reductio ad absurdum-om? Odgovor na to pitanje videćemo nešto kasnije. Sada da vidimo šta je reductio ad absurdum.
Reductio ad absurdum (uobičajena skraćenica je RAA) ili svođenje na besmislicu jeste metod putem koga se izvode argumenti ili, u logici, pravilo za zaključivanje. Ovaj metod se koristio još pre više od dve hiljade godina, a koristi se i danas. Osnovna ideja RAA jeste da indirektnim putem damo dokaz za nešto. To znači da ako hoćemo da dokažemo neku tvrdnju, onda prvo pretpostavimo njenu negaciju. Dalje, ako uspemo da dovedemo u protivurečnost (apsurd) pomenutu negaciju, onda smo time uspeli da dokažemo samu početnu tvrdnju. Zašto je ovaj način dokazivanja indirektan? Zato što mi u ovom načinu dokazivanja ne izvodimo dokaz direktno za tvrdnju koju želimo da dokažemo, već izvodimo dokaz da je negacija tvrdnje nemoguća, tj. polazeći od negacije tvrdnje dolazimo do apsurda, stoga, prihvatamao samu tvrdnju i tvrdimo da imamo dokaz za nju, koji nije direktan, već indirektan. Možda zvuči komplikovano, ali nije strašno. Jasnije je možda na primeru.
Recimo da želimo da dokažemo da je Zenon (poznati dijalektičar) bio čovek putem RAA. Prvo što radimo jeste da pretpostavimo suprotno, tj. u konkretnom primeru da Zenon nije bio čovek. Ali ako Zenon nije bio čovek, onda on sigurno nije mogao biti dijalektičar (nije poznato da na primer majmuni ili prasci mogu da se bave dijalektikom). Dakle, ako Zenon nije bio čovek, nije mogao biti ni dijalektičar. Međutim, nama je poznato da je Zenon bio dijalektičar, pa tako dobijamo da je Zenon i bio i nije bio dijalektičar, što je apsurdno, pa bismo rekli ”Ako je to istina (u ovom slučaju da je Zenon i bio i nije bio dijalektičar), onda prasci lete”. Ili drugim rečima, kada dođemo do apsurda sve je moguće. Jednom prilikom Bertrand Rasel je slično istakao da kada u sistem uključimo kontradikciju (apsurd) sve je moguće. Čuvši ovo, student koji je pratio Raselovo izlaganje zatražio je od Rasela da dokaže da je papa ako je 1+1 jednako 3. Rasel je odgovorio na sledeći način: ”Ako je 1+1 jednako 3, onda je 2 jednako 3. Oduzimanjem 1 od 2 i 1 od 3, dobijamo da je 1 jednako 2. Papa i ja smo dva, stoga papa i ja smo jedan (jedno), odnosno ja sam papa”. Na ovaj način Rasel je ućutkao ovog studenta, a nama je ostalo da zaključimo dokaz. Pošto smo ”udarili” u apsurd, zaključujemo da je lažno da Zenon nije bio čovek, odnosno da je istinito da je bio čovek.
Za one koji su upoznati sa logikom RAA ima sledeći oblik. Pretpostavimo iskaz A. Ako dokazivanjem ”udarimo” u kontradikciju (kontradikcija je konjunkcija gde je jedan od konjunkata negacija drugog), onda nam pravilo RAA dozvoljava da zaključimo ne-A. Trebalo bi napomenuti da intuicionistička logika ne prihvata RAA pravilo za dokazivanje. Razlog tome je njihovo odbacivanje principa isključenja trećeg, principa koji kaže da istinito može biti samo ili A ili ne-A, nema trećeg (ili pada kiša ili ne pada kiša). Stoga, po intuicionistima, ako bi pokazali da npr. A vodi u apsurd, to ne bi dokazalo da je ne-A istinito.
RAA se najčešće primenjuje u filozofiji i matematici. Navešću jedan dokaz putem RRA iz matematike koji je dao pitagorejac Hipas u 5 veku p.n.e., u nešto izmenjenom obliku. Ono što je potrebno da dokažemo jeste da su stranica kvadrata i njegova dijagonala nesamerljive. Da bismo to dokazali pretpostavimo suprotno, tj. da su stranica kvadrata i dijagonala samerljivi (mogu se predstaviti u brojnom odnosu, tj. razlomkom). Obeležimo dijagonalu kvadrata sa d, a stranicu sa a, onda je a/d jednako nekom razlomku p/q, gde su p i q celi brojevi i nemaju zajedničkog delioca, tj. ne postoji broj koji deli i p i q, a da je različit od 1 (pošto 1 deli bilo koji broj, pa se, onda, ne računa u ‘’prave’’ delioce). Razlog zašto su p i q takvi da nemaju zajedničkog delioca jeste što se svaki razlomak, ukoliko to već nije, može svesti na razlomak kome imenilac i brojilac nemaju zajedničkog delioca, a da odnos ostane isti. Na primer, razlomak 6/8 gde je imeniocu i brojiocu zajednički delilac 2, može se svesti na 3/4, a da pritom odnos ostane isti. Dakle, p i q nemaju zajedničkog delioca. Pitagorina teorema u opštem obliku kaže da je c²= a²+b². U našem konkretnom slučaju, gde su sve stranice kvadrata jednake, jednačina izgleda: d²=a²+a², tj. d²=2a². Pošto je a/d=p/q, sledi da je a=p/q*d. Stoga, zamenom a u jednačini d²=2a², dobijamo d²=2*p²/q²*d². Kada podelimo jednačinu sa d², jednačina izgleda: 1=2*p²/q². Množenjem jednačine sa q² dobijamo sledeće: q²=2p². Iz toga sledi da je q² paran broj, jer je predstavljen u obliku 2*(nešto). Iz toga, dalje, sledi da je q paran broj, jer samo parni brojevi imaju za kvadrate parne projeve (možete proveriti ako mi ne verujete). To znači da se q može predstaviti u obliku 2k. Zamenom q sa 2k u prethodnoj jednačini dobijamo: (2k)²=2p², to je, dalje, jednako 4k²=2p², zatim deljenjem jednačine sa 2 dobijamo 2k²=p². Primećujemo da je i p paran broj iz istih razloga pomoću kojih smo tvrdili da je i q paran broj. Stoga, p može biti zapisan u obliku npr. 2m. Vidimo da i p i q imaju zajednički delilac, a to je 2, jer se oba mogu zapisati kao 2k, odnosno 2m. To upravo protivureči pretpostavci koja kaže da p i q nemaju zajedničkog delioca. Stoga nam onda RAA dozvoljava da negiramo početnu pretpostavku, i zaključimo da stranica kvadrata i njena dijagonala nisu samerljive (dokaz da √2 nije racionalan broj je vrlo sličan ovom). Ovo je možda izgledalo kao previše matematike, ali mislim da nije suviše teško. Ako vam iz prvog čitanja nije bilo jasno, nemojte se truditi da čitate ponovo. Šalim se naravno. Pročitajte ponovo, verujem da će vam biti jasnije.
Možemo primetiti da nam u matematici RAA dozvoljava da negiramo samo glavnu pretpostavku. Međutim, situacija u filozofiji ne mora biti takva. Za apsurdan zaključak može biti odgovorna ne samo glavna, već i pomoćne hipoteze. To se možda najbolje vidi kada sagledamo učenja Parmenida i Zenona sa jedne i atomista sa druge strane. Da podsetim, Parmenid i Zenon su tvrdili da mnoštvo ne postoji, da je to samo privid, dok su atomisti Leukip i Demokrit tvrdili da mnoštvo postoji i sastoji se iz atoma i praznina, gde su atomi fizički nedeljivi, dok su matematički još uvek deljivi. Parmenida i Zenona možemo posmatrati kao one koji su negirali glavnu pretpostavku, da mnoštvo postoji. Leukip i Demokrit su tvrdili da mnoštvo postoji, tj. glavna pretpostavka je u redu, ali su napadali pomoćnu pretpostavku, koju su Parmenid i Zenon prihvatili, a to je beskonačna mogućnost deljenja. Pored toga Leukip i Demokrit su i redefinisali termine, koji u filozofiji nisu uvek strogo definisani, za razliku od onih koji se koriste u matematici. Tako da atomi jesu nedeljivi, ali fizički, ne i matematički.
Osim u Antici, reductio ad absurdum se koristio kroz celu dalju istoriju. Dokazi iz geometrije od pomenutog Hipasovog, preko Euklidovih, do savremenih su najvećim delom izvođeni putem RAA. Platon, Aristotel, Kant, svi su se oni oslanjali na RAA. Moderna logika kada ne bi imala RAA, ne bi imala svoje najmoćnije i najkorisnije oružje. Ko bi rekao za tako jednostavan princip.
Marko Tešić
Ave Philosophy! Morituri te salutant!
Tekstovi o filozofiji na portalu P.U.L.S.E
Reductio ad absurdum napisao/la P.U.L.S.E dana
Pregled tekstova autora – P.U.L.S.E →