Huserl je razmatrao filozofiju broja, a pre njega se time bavio Frege. Ovaj poduhvat Fregeov čini filozofskim – svima izgleda da razumeju šta je broj, prirodni broj u to vreme je bilo nešto što se nije dovodilo u pitanje, prirodne brojeve je stvorio bog, a ostale ljudi. Frege je bio matematičar i bio je u tome uspešan, nije bilo njegovo prvo delo opšte prihvaćeno, naknadno se uvidelo koliko tu ima značajnih postavki koje ranije nisu bile uočene, ali se ne može reći da je bio shvaćen u onoj meri u kojoj je to danas. On preuzima ovo filozofsko istraživanje polemišući u početku sa Kantom, koji smatra da su istine aritmetike sintetički sudovi a priori, Frege je smatrao da se aritmetika može zasnovati na logici, i da je u osnovi svega mislivog i svega što se može opaziti broj i zbog toga postavlja pitanje šta je broj. Uzimanje kao problema nečeg što niko drugi ne smatra za problem. S druge strane, imamo empiriste, koji smatraju da istine aritmetike i brojeve možemo da odredimo kao nekakve instance induktivne generalizacije. Mil bi rekao da vidimo da se celine sastoje od delova, delovi od delova, i to je neko empirijsko zapažanje. I sa tim polemiše Frege. Frege je sam imao nameru da pruži jedan filozofski uvod u svoje delo. On u tom delu još ne pravi onu razliku između smisla i značenja, tako da kada čitamo Osnove aritmetike, on će koristiti smisao i značenje često kao sinonimne, a nama je za ono što smo mi u filozofskoj analizi prihvatili od Fregea ovo njegovo delo značajno, jer predikat egzistencije povezuje sa pojmom broja.

Kako Frege pre svega pristupa ovom pitanju? On postavlja pitanje šta je broj i onda postavljajući to pitanje on kaže ono čuveno što se danas naziva Fregeovim diktumom, a to je da, da bi se znalo neko značenje reči, treba prvo znati značenje rečenice, reči dobijaju značenje tek u okviru rečenice, on to kaže tek usput u Osnovima aritmetike. On tu iznosi jedan princip značenja koji predstavlja korak ka drugim holističkim shvatanjima značenja, pa ćemo postepeno doći do toga da je značenje određeno čitavom teorijom, tu počinje to da ne govorimo o značenju jednog izraza, nego do značenja jednog izraza dolazimo kroz značenje rečenice. Šta je to broj? Mi ćemo da bismo to saznali, gledati rečenice u kojima nam se javlja broj i videćemo uz šta stoji broj, da li broj stoji uz objekte, ili da analiziramo rečenicu i da vidimo uz šta stoji broj, i tako ćemo doći do odgovora na pitanje šta je broj, a to ćemo povezati posle sa predikatom egzistencije.

Jupiter ima četiri meseca – nije bitno da li je istinit ili lažan, uzmimo da je istinit. Šta smo mi izrekli ovim iskazom? Četiri se odnosi na ovo mesec – tako nam to na prvi pogled izgleda. Ali uzmimo lažan iskaz „Venera ima četiri meseca“ ili istinit iskaz „Venera ima 0 meseca“. Ako je ovaj iskaz istinit, uz šta bi nam onda stajalo ovo 0? Ne može da nam broji nešto čega nema. Sam ovaj iskaz, to je važno, imamo princip kompozicionalnosti. Prvo ćemo reći da imamo Fregeov diktum, da je osnovna jedinica značenja rečenica. Drugo, princip kompozicionalnosti – ako cela rečenica ima smisla, onda imaju smisla i njeni sastavni delovi (ne pravi se razlika između smisla i značenja, pa možemo reći da rečenica ima značenje, onda imaju značenje i njeni sastavni delovi). Mi smo pripisali ovoj rečenici istinitosnu vrednost, mi moramo da tražimo drugi smisao pripisivanja broja, nego da je to da broj stoji uz objekat. Koji drugi smisao može da ima ova rečenica? Broj stoji uz predikat, odnosno Frege u ovom delu ne pravi tačnu razliku između smisla i značenja, tako da ovu finesu ne moramo za sada još da razmatramo, dakle, da nula stoji uz pojam, kako stoji uz pojam? Pa ovaj iskaz znači da nula stoji uz pojam „biti Venerin mesec“, ovaj iskaz znači pod pojam biti Venerin mesec ništa ne potpada. Razmatranje broja 0 nam rasvetljava pravu prirodu broja i vodi nas ka pojmu egzistencije. Možemo da kažemo „nema Venerinog meseca“ ili „ne postoji Venerin mesec“. Kada ima meseca, kako bismo analizirali ovaj iskaz Jupiter ima 4 meseca – pod pojam Jupiterovog meseca potpada četiri stvari. Ako bismo rekli postoji Jupiterov mesec, tu bi bilo parafrazirano pod pojam Jupiterov mesec potpada barem jedna stvar ili bi bilo nije tačno da pod pojam biti Jupiterov mesec potpada nijedna stvar. Iz ova dva sledi da reći da nešto postoji, predikat egzistirati nije ništa drugo nego negacija broja nula. Egzistirati znači naprosto negirati broj nula.

Kako ćemo onda doći do definicije broja? Fregeov je cilj da pokaže da mi možemo da damo definiciju broja nula i da preko te sheme definicije na isti način definišemo i sve druge brojeve. On je pronašao algoritam za definisanje svih brojeva, ako to imamo, mi onda imamo logički osnov aritmetike, barem početak da neke entitete možemo logički da odredimo, da im damo definicije, a onda se postavlja pitanje da li sve teoreme možemo da zasnujemo logički.

Koji je to algoritam za davanje definicije broja? Svaki broj ćete odrediti preko nekog pojma, nulu ćete odrediti preko nekog pojma, jedinicu preko nekog pojma, dvojku isto, itd. Nulu ćemo odrediti preko pojma koji je prazan, jedinicu preko pojma koji ima samo jedan objekt koji ga instancira, dvojku preko pojma koji ima samo dva objekta koji ga instanciraju. Onda vam je potpuno otvoreno kako ćete definisati brojeve logički, pa ćemo nulu odrediti preko nekog pojma, kog pojma, šta je sigurno da će biti pojam koji nije instanciran, pojam koji je protivrečan, nula je broj koji stoji uz pojam „ne biti identičan samom sebi“. To je otvoreno. Jedan definišete preko nekog pojma koji ima jednu instancu, i tako redom.

Kako se sada Fregeova analiza odražava na dalje razmišljanje o predikatu postojanja? Predikat postojati, ako je on negiranje broja nula, ako se ponaša kao broj, jer postojati znači biti jedan biti dva biti tri, barem nešto potpada pod pojam Jupiterov mesec, ako se egzistirati ponaša kao broj, onda ni egzistirati ne stoji uz objekt. Posledica ovoga je da (4) predikat egzistencije ne stoji uz objekat. Egzistencija ne stoji uz objekt, egzistencija kao i broj onda je nešto što stoji uz pojam. Kako onda dolazimo do toga da je (5) egzistencija predikat drugog reda? Zašto je egzistencija uopšte predikat? Veza između egzistirati i nešto – postoji Jupiterov mesec to je sinonimno sa nešto je Jupiterov mesec. Mi imamo jednu opštu tezu, jedno opšte pravilo koje neprekidno koristimo. Mi kad kažemo Marko kasni, šta je negacija tog iskaza? Nije istina da Marko kasni – negacija rečenice. Marko ne kasni – koji je princip ovde? Posmatranje nečeg što izgleda kao da u pozadini nema ničega, a krije se ovde jedan princip koji pažljivo primenjivan daje ne samo čitavu modernu logiku, nego velike osnove filozofske analize. Negacija rečenice je negacija predikata – to je princip koji smo primenili u obe ove rečenice.

Svi ljudi su smrtni.

Svi ljudi nisu smrtni (netačno)

Svi ljudi su besmrtni (netačno)

Neki ljudi nisu smrtni. (negacija prvog iskaza)

Prvi iskaz i druga dva ne mogu da budu istovremeno istiniti, ali mogu da budu istovremeno lažni i zbog toga nisu kontradiktorni, već samo kontrarni iskazi. Opšti princip: logička negacija (kontradikcija) rečenice je negacija predikata. Tretirali smo u druga dva primera svi kao deo subjekta svi ljudi, ali logička analiza nam otkriva da je i „svi“ negirano, samim tim što je i svi negirano, mi zaključujemo da je i svi bilo deo predikata, naš jezik prirodno ne dopušta da to bude jednakog reda, da to bude ista vrsta predikata kao i smrtni i onda kažemo da je to predikat drugog reda.

Sada vidite kada primenimo ovu analizu, „Neki ljudi su smrtni“, dobićemo „Nijedan čovek nije smrtan“, kao negaciju, kao kontradikciju. Negirali smo i „neki“. Kada kažemo „Nešto je Jupiterov mesec“, negacija je „Ništa nije Jupiterov mesec“. „Nešto“ je predikat drugog reda, nešto znači egzistirati, a to znači negirati broj nula, što nam daje da je egzistencija predikat durgog reda.

Vidimo kako se došlo do takođe važnog mesta, a to je kakva je forma iskaza? Kakva je sintaksička forma iskaza? Kakva je sintaksička struktura onoga za šta postavljamo pitanje da li je istinito ili lažno? Mi smo rekli recimo Petar je student Filozofskog fakulteta. Kako bismo, koristeći ovu Fregeovu analizu, to parafrazirali? Rekli bismo Petar potpada pod pojam „biti student Filozofskog fakulteta“. Kada smo to rekli, onda mi hoćemo sada da analiziramo ovo „je“, kakvo je to „je“, da li to „je“ u iskazu povezuje subjekt i predikat i kako ga povezuje, da li je ovo „je“ nekakva relacija između subjekta i predikata, ako bismo analizirali ovo kao „Petar potpada pod pojam „biti student Filozofskog fakulteta““, onda bismo postavljali pitanje da li je potpadanje pod pojam neka relacija i onda bismo imali veliki problem, morali bismo da kažemo da to nije relacija, jer ako bi bila relacija onda bismo imali jedan beskonačni regres ili jedan paradoks. Taj paradoks je star paradoks, taj paradoks ima veze sa čitavim razvojem filozofije, sa ontologijom i metafizikom, odnosno sa problemom univerzalija, to je paradoks predikacije. Kaže Sokrat šta znači pripisati nečemu to da je dva, pa mi možemo da dobijemo, naravno, razmatrajući opšte pitanje, šta znači da je nešto lepo, dobro, istinito, Platon dolazi do te ideje da postoje ideje, do teorije forme, do jake realističke pozicije u metafizičkom smislu, da biti lep znači učestvovati u lepoti, instancirati lepotu. Kada kažemo ovo je dva, kako znate da je toga dva, jednoj stvari dodali smo drugu stvar, a možemo dobiti i kada podelimo jednu stvar dobijemo dva, kako ako na tako dva suprotna načina postaje se dva, onda „biti dva“ nije ništa drugo do učestvovanja u dvojini, to je ideja učestvovanja u, ili savremenijim rečima rečeno to znači instanciranje. Ako kažemo a je lepo, to bi po Platonovom diskursu bilo „a učestvuje u lepoti“, a mi bismo rekli „a je instanca lepog“. Ali mi smo ovim objasnili predikaciju, mi smo objasnili šta znači reći da je nešto nekakvo i samim tim imamo iskaz „a je instanca lepog“. Ali tu smo a-u predicirali da je instanca lepog, šta čini istinitim ovaj iskaz, pa učestvovanje u, instanciranje instance lepog. A je instanca instance lepog. To je paradoks koji je u savremenoj filozofiji oživeo Bredli ili paradoks relacije. Da ako pretpostavimo da je reći da je nešto nekakvo, stvar dovođenja tog objekta predikacije u relaciju neku sa ovim što je predicirano onda dobijamo treći entitet (paradoks trećeg čoveka), koji povezuje, „je“ postaje treća stvar koja povezuje dve stvari i tako dolazimo do paradoksa predikacije. Fregeova analiza blokira nastajanje Bredlijevog paradoksa, nećemo govoriti o ovom „je“ kao nešto što povezuje S i P, i otuda ono rešenje koje daje Frege, to bi bila sedma stvar, a to je da ovo „je“ ne povezuje subjekat i predikat, nego da „je“ pripada predikatu, „je“ je deo predikata. Kako da objasnimo sad taj odnos subjekta i predikata? Pa kao što je već jednom radio Bul kada je pokušavao da odredi logičke glavne pojmove disjunkciju, implikaciju po analogiji sa matematikom, i to je činio sa analogijom plus i puta, sada je Frege, budući da je ta analogija koju je pravio Bul dovela donekle, Frege je napravio analogiju sa računom funkcija, sa funkcijama u matematici, pa je ovo zamišljajući kao funkciju došao do toga kakva je veza između subjekta i predikata. Venera je planeta. Mogu da kažem svojstvo planeta pripada Veneri P(v)=T, Filozofski fakultet je planeta P(ff)=netačno. Subjekat analogno sa argumentom funkcije, a predikat analogno sa funkcijom. Frege kao oznaku za prazno mesto ne uzima promenljivu nego stavlja grčko slovo ksi, koje služi kao neko prazno mesto. Onda ovo S je P, ako je ovo „je“ deo predikata „je P“, a ovo S bi ulazilo kao argument. Analiza ovog iskaza bi bila da se sastoji od predikata prazno je P i onoga što nazivamo subjektom koji je po analogiji sa funkcijama ispravno nazvati argumentom koji ulazi u predikat. I otuda ideja nezasićenosti kod Fregea, predikat sadrži prazninu koja treba da bude zasićena, u koju ulazi argument. Sada vidimo nešto što nam se od početka provlači kao značajan problem, a to je jedinstvo jedne misaone celine i Frege će i govoriti da je misao, odnosno ono što je izraženo rečenicom jedinstveno, misao je jedinstvena a kada to kaže on misli upravo ovo da ova dva elementa u misli, nešto što pod nešto podvodimo, da su nama ta dva elementa povezana tako da predikat traži dopunu prvog, oni prirodno jedan drugog dopunjuju, nisu vezani nekom relacijom nego kao da nešto ulazi u nešto potpuno prirodno. Element depsihologizacije logike, ovaj naš izraz izražava misao, ali logička misao je nešto što je intersubjektivno, logička misao nije misao jednog subjekta koji ima psihološke karakteristike, nego je nešto čemu pripisujemo istinu odnosno laž.

Ja kad kažem Irena sedi pored Ivana to je tačno. Ja sam sada dva argumenta dovela u jednu dijadičku vezu i kao rezultat sam dobila tačno, a ako kažem Irena sedi ispred Ivana, dobiću netačno. Ako smo već napravili analogiju sa funkcijom, da vidimo dokle ide ta analogija, pogledajmo rezultat, da li ćemo imati rezultat odnosno vrednost. Već vidite kako sa ovog polazišta postaje prirodno da se istina i laž uzmu kao vrednosti ovih iskaza. Istina i laž su referenti iskaza. Različitim funkcijama mogu da referiram na isti objekt, na primer na četiri. Ako su nam istina i laž referenti iskaza, onda već vidimo zašto moramo da imamo posrednu teoriju referencije, jer imamo s jedne strane rečenicu što je neki čisto materijalni entitet, ta rečenica nešto izražava, šta ona izražava, ona izražava nekakvu misao, odnosno smisao rečenice, ako je izrečena u ozbiljnom govoru, jeste misao koju ona izražava.

Sada bi trebalo da uvedemo celu shemu koja određuje Fregeovu filozofiju jezika. Da odredimo šta je referent, značenje predikata, šta je smisao predikata, šta je referent rečenice, značenje rečenice i šta je referent imena, a šta je smisao tog imena. Od toga je od velike pomoći za ovakvo objašnjenje jedno pismo koje je Fregeu uputio Huserl, Frege je sam nacrtao ovu shemu u pismu Huserlu.

Ekstenzija

Referent iskaza ili vrednost iskaza je istina ili laž. Mi smo pojam tretirali kao nešto što je na istom nivou sa istinom odnosno laži. Kada se postavlja pitanje šta je referencija predikata, za referente opštih imena i predikata uzeo je da je to pojam, jer pojam može da bude prazan, ako bi referent opšteg imena bila ekstenzija tog imena, pa da kažemo elektroni, ako bi referencija elektrona bili zaista stvarni elektroni, moglo bi da se desi dok tražimo da li je neki iskaz naučno istinit da taj pojam bude i prazan, mi se recimo pitamo da li postoje elektroni, atomi i slično, ako bismo imali naučne iskaze koji nemaju referenciju odnosno ako naučna opšta imena ne bi imala referenciju, onda bi po principu kompozicionalnosti, onda čitavi iskazi ne bi imali referenciju, zato Frege uzima da je referent predikata pojam, a tek pod pojam potpadaju objekti pa je ekstenzija pojma nešto što je četvrta stvar.

Frege o egzistenciji

Danas ćemo završiti sa Fregeom i time se završava jedna celina koju sam ja nazvala temeljima savremene filozofije, analitičke orijentacije. Današnja tema je Frege o egzistenciji, egzistencija kao predikat drugog reda i Frege o iskazima identiteta. Na prošlom času sam objašnjavala kako Frege shvata broj i da je važno dati defniciju broja. Videli smo da broj nešto što je u sudu, koji je oblika, i insistirali smo da je nova forma suda F(Ѯ), u obliku funkcije, gde je „ksi“ slovo za prazno mesto. Pri tome, na ovo prazno mesto dolazi ono što je nekad bio subjekt, ali je češće naziv argument, analogija sa funkcijom ili argument. Ono što dolazi ovde je ime, i ono se odnosi na objekt, a funkcija ili predikat se odnosi na pojam. Frege sada postavlja pitanje, kada se u sudu, koji ima ovu logičku formu, javlja broj, recimo, Venera ima 0 satelita, koje je logičko, a ne gramatičko, mesto broja u ovako shvaćenom sudu? Zaista, tražeći definiciju broja, Frege polazi od suda, to je čuveno mesto, koje se citira, paragraf 82 u Osnovama aritmetike, koje kaže, Ako o broju ne možemo imati nikakvu predstavu (zor), kako onda broj treba biti dat? Ovo možete razumeti u kontekstu kasnije Fregeove kritike Huserla, ne može broj da bude nešto čega imamo predstavu. Reči nešto znače samo u kontekstu nekog stava. Stvar je u tome da se objasni smisao stava u kojem se pojavljuje broj. Koristim ovu priliku da istaknem, to se teško navodi, da Frege kaže da reči dobijaju značenje tek u sklopu rečenice, a ne izolovano, ili da imaju smisao tek u rečenici. Videli smo da analizom sudova u kojima se javlja broj, dakle, broj, numeral, dakle, nešto što je ime nekog broja, videćemo do kraja časa, broj jeste objekt, on je imenovan nekim imenom. Broj dobijamo, kada smo analizirali sudove u kojima se javlja broj, dobili smo da broj ne stoji uz objekte, nego da stoji uz pojmove, odnosno, da broj stoji uz pojam. Ovakvo shvatanje broja omogućava Fregeu da reši jedan stari filozofski problem, taj problem se tiče pitanja prirode predikata postojanja, odnosno, biti, pitanja prirode egzistencijalnih sudova uopšte. Stari problem, on je otvoren, hajde tako da kažem, pošto ćemo se nadovezati na Kanta, počećemo od Anselma Kanterberijskog, naravno da se o tome raspravljalo i ranije. Koja je bila ideja Anselma Kanterberijskog? Ideja je da se nađe pojam boga koji je takav da iz same te zamisli boga sledi egzistencija. Taj pojam je to da je bog pojam „ono biće od kog se ništa veće ne može zamisliti“. Neću ulaziti u Gaunilovu kritiku, jer ona ne pogađa ono na šta se nadovezuje Kant. Kant zapravo kritikuje Dekartov ontološki dokaz. Dekart govori o bogu kao nečemu od čega se ništa savršenije ne može zamisliti, i onaj ključni momenat jeste da je egzistencija jedno od savršenstava boga. Gasendi upućuje kritiku ovom dokazu i kaže da egzistencija nije nikakvo savršenstvo, već je to preduslov da se imaju bilo savršenstva, bilo nesavršenstva. Dakle, Dekartov pitanja jeste doveden u pitanju. Vidimo da u Dekartovom shvatanju, mada kod Gasendija možemo da se upitamo, nekako pristutno da se egzistencija shvata kao nešto što je osobonina pojedinačne stvari, nešto što se kao i druge osobine pripisuje individui, kao što bogu pripisujemo da je svemoćan, da je večan, pripisuje mu se i egzistencija. Tu je prisunto shvatanje egzistencije kao predikata prvog reda. Mnogo filozofa se bavilo tim problemom kakav je predikat postojati, recimo Hjum je smatrao da postojati nije nikakvo individirajuće svojstvo, vi kada kažete da nešto postoji, vi niste stvar razlučili od drugih stvari koje su takođe postojeće. Kako Kant kritikuje Dekartov dokaz? Tako što će onaj njegov čuveni primer, sa 100 talira – 100 talira stvarnih i 100 talira mogućih – da kaže da ne postoji nikakva razlika u pojmu. To znači da kada kažemo da nešto postoji, mi time ne proširujemo pojam. Kant je iz toga zaključio da egzistencija nije realni predikat, nije nekakav predikat koji proširuje pojam subjekta. Kakav je to predikat? Kant će reći da je egzistencija logički predikat, u tom smislu što ovo „je“ postavlja subjekt da subjektu nešto bude predicirano. Dakle, egzistencija je logički predikat.

Tu sad dolazi do jedne protivrečnosti. Tu imamo problem, ako egzistencija ne proširuje pojam subjekta, onda bi sudovi egzistencije trebalo da budu analitički, ako sudove delimo na analitičke i sintetičke. Međutim, sam Kant sa izvesnim pravom, o egzistencijalnim sudovima govori kao o sintetičkim sudovima, i nekim mestima kaže da su oni sintetički, to ima smisla zato što ima smisla poricati postojanje nečega bez protivrečnosti, ako kažem da nešto ne postoji, to ne zalazi u samoprotivrečnost, i u tom smislu ne zadovoljava ono određenje analitičkog suda, da je analitički sud onaj koji se ne može negirati već protivrečnosti. Vidimo da ova Kantova podela sudova na analitičke i sintetičke pati od jedne protivrečnosti, kada govorimo o predikatu postojati. Znači, predikat postojati ukazuje da se nešto neobično dešava, odnosno, stiče se utisak da su Kantova razmišljanja o egzistenciji otišla korak napred od razvoja logike, on se sam nije bavio logikom. Logika njegovog vremena nije bila doviljna da obuhvati njegovo shvatanje. Kada uvedemo, to može da bude jedan od simptoma, da S je P forma suda nije dobra da nam objasni epistemički položaj, odnosno, šta se dešava sa predikatom postojati. Da iskoristim sad da kažem i to da je uvođenje razlilčite forme suda rezultiralo i time da više nemamo definiciju analitičkog i sintetičkog kakvu smo imali kod Kanta. Zapravo, ovaj jedan deo definicije ostaje, zato što i dalje možemo da govorimo da neprotivrečnosti, ali imamo problem da tvrdimo da je analitički sud onaj sud u kome je pojam predikata sadržan u pojmu subjekta. Imamo problem da to tvrdimo, ne samo iz trivijalnog razloga zato što nemamo subjekt-predikat formu, nego zato što mi u osnovi i dalje imamo tu formu, samo što su subjekt i predikat drugačije shvaćeni, nisu termini, nisu u odnosu kao u tradcionalnoj logici, analitčki sud ne može biti ovako definisan, nego mi to možemo da objasnimo, zašto Frege ne može da kaže da je pojam predikata sadržan u pojmu subjekta? Kad kažemo, pojam predikata i pojam subjekta, to je pojam vezan za predikat i pojam vezan za subjekt. Kod Fregea, pojam jeste vezan za predikat, ali šta je referencija predikata? Pa, pojam. Ali referencija Bedeutunga, to nikad neće moći da bude bude pojam. Prema Fregeovoj teoriji značenja, ono na šta se subjekt odnosi, to je uvek objekt. Namerno govorim subjekt-predikat, zato što na ovom nivou znanja, ne moramo da izbegavamo da koristimo istu terminologiju, znamo šta pod čim podrazumevamo. Zapravo, mi možemo da govorimo o objektu subjekta, a ne o pojmu subjekta. To će biti jasno kada budemo pominjali kritike koje su mu upućivane, posebno od jednog Brentanovog učenika. Kritika se tiče te teze da postoji oštra sintaksička razlika između imena i predikata, možemo da kažemo i ontološka razlika između imena i pojma. Ime nikad ne može da se odnosi na pojam, a predikat ne može da se odnosi na objekt. Bukvalno rečeno, pojam predikata je sadržan u objektu subjekta, a to se ne može reći. Ne važi više staro određenje analitičkog suda. Novo određenje, koje Frege daje, analitičkog suda, u Grundlagen, jeste da su analitičke istine, istine logike i one koje se logičkim zakonima mogu svesti na istine logike.

Iskoristiću ovu priliku da objasnim razloge za uvođenje novog određenja analitičkog suda, da se vratim na to kako Frege vidi egzistenciju, i kako na jedan način rešava to staro pitanje, koji je logički status predikata postojati. Frege, u Osnovama aritmetike reći će da je egzistencija negiranje broja 0. Vidite da sam zato i krenula od Fregeovog shvatanja brojeva. Kako možemo da razumemo ovu misao? Rekli smo da nula stoji uz pojam pod koji ništa ne potpada, 0 stoji uz pojam biti pegaz, biti krilati konj, biti jednorog. Svi drugi prirodni brojevi će stajati uz pojmove pod koje nešto potpada. Što znači, reći da pod neki pojam nešto potpada, to znači da 0 ne stoji uz taj pojam. Ako ima stolica, to znači da 0 ne stoji uz taj pojam, već neki drugi pojam. Onda vidite da kad tvrdimo egzistenciju, mi zapravo negiramo da je 0 broj koji stoji uz taj pojam. To je smisao Fregeove teze da je egzistencija negiranje broja 0. U tom smislu egzistencija zaista jeste slična broju, zato što ne stoji uz objekt, stoji uz pojam. Frege je oprezno koristio reči „stoji uz“ zato što je to nekakva šira formulacija, još nam ne ukazuje šta je šta. Egzistencija nije objekt. Slični su samo utoliko što i predikat „postojati“ i broj stoje, ne uz objekt, nego uz pojam. Hajde sad polako da vidimo kako ćemo doći do pravog logičkog mesta predikata „postojati u sudu“. Time sledimo Fregeovu metodologiju, uvek kada tražimo značenje ili smisao nečega polazimo od celine suda. Kada kažemo da postoje stolice, to znači da pod pojam biti stolica nešto potpada. Da bismo videli kako se to „postojati“ ponaša, umesto da kažemo da postoje stolice, reći ćemo Nešto je stolica, postoji neka implicitna veza između postojati i ovog kvantifikatora nešto, neki. Uzećemo da analiziramo sud u kome se javlja ovo neki i kada otkrijemo uz šta u sudu stoji neki, dobićemo odgovor uz šta u sudu stoji predikat „postojati“. Krenućemo od primera: Neki ljudi su filozofi. Postavljamo pitanje ovo neki da li je, koja je njegova pozicija. Na prvi pogled izgleda da ovo neki pripada subjektu, kao da ga dodatno određuje. Znači, gramatički nam tako izgleda. Možemo da koristimo jedan test, a to je ideja da je negacija suda, iskaza uvek negacija predikata. Odnosno, kada imamo negiranu rečenicu, u njoj sve ono što je negirano jeste predikat. Intuitivno, kada imamo Pavle je pisac negacija je Pavle nije pisac. Testirajmo našu ideju, da li je su filozofi predikat? Reći ćemo Neki ljudi nisu filozofi. Pitaćemo se, ako je tačno da je „biti filozof“ predikat, onda bi ova rečenica morala da bude negacija, odnosno, kontradiktorna sa ovom gore rečenicom. To nije slučaj. One mogu biti istovremeno istinite. Vidimo da ovaj iskaz nije prava negacija. Pogledamo šta je prava negacija? Prava negacija jeste da Niko nije filozof. Šta je sve negirano u ovoj rečenici? Ovde nam fali Nijedan čovek nije filozof. Vidimo da je negiran predikat biti filozof, ali i ovo neki je postalo niko. Iz toga zaključujemo, sledeći ovaj Fregeov test, sve što je negirano u onom iskazu koji je striktna negacija polaznog, pripada predikatu. Iz toga zaključujemo da ovo neki, zvaćemo ga kvantifikatorom, ne pripada subjektu nego pripada predikatu. Tako da, sledi zapravo, da postojati, jeste deo predikata. Nije bilo onako kako nam je na prvi pogled izgledalo. Onda ćemo to nazivati predikatom drugog reda.

Kvantifikatori jesu delovi predikata. Imamo sledeći primer. Svi ljudi su smrtni i svi ljudi nisu smrtni, postavlja se pitanje da li su ova dva iskaza kontradiktorna? Nisu kontradiktorni, mogu istovremeno da budu lažni. Možemo da imamo Peru koji je besmrtan i kontraprimer za ovaj prvi iskaz i Žiku koji je smrtan i kontraprimer za ovaj drugi iskaz. Mogu istovremeno da budu lažni. Kontradiktorni su oni koji ne mogu biti istovremeno istiniti, ni istovremeno lažni. Iz ovoga sledi da nije ceo predikat „biti smrtan“, da još nešto pripada ovom predikatu. Koja je prava negacija od Svi ljudi su smrtni? Neki ljudi su besmrtni. Šta smo u ovom ispitivaju koristili, iz koga sledi da kvantifikatori ne spadaju u subjekt, niti da ga određuju dodatno, nego da su deo predikata? Koristili smo test, test da je negacija suda negacija predikata, kada negiramo sud, ono što negiramo jeste predikat onog polaznog suda. Na osnovu tog testa ćemo moći lako da odredimo šta je predikat, izneli smo još jednu tezu, o tome kad su dva subjekta kontradiktorna. Važno je razlikovati kontradiktorne i kontrarne sudove. Kontrarni sudovi ne mogu istovremeno da budu istiniti, kontradiktorni ne mogu da budu ni istini ni lažni. To je bilo ključno u razmišljanju o ova dva pojma. Sada, posle ovog razmatranja o egzistenciji koja je predikat drugog reda kod Fregea, pralazimo na njegovo razmatranje iskaza identiteta.

Iskazi identiteta

Ovo je najznačajniji njegov tekst, „O smisli u nominatumu“, iz 1892. godine. Ja sam vama neke šire ideje već iznela. Važno je da Bedeuntung znači značenje, i da je njegova teorija dvodimenzionalna i da on razlikuje smisao i značenje, a da usled mnogih razloga, prvenstveno toga što se ime odnosi na objekt, a objekt jeste referencija imena, onda prvenstveno na engleskom, ovo Bedeuntung se prevodi kao referencija, tj. kod nas nominatum, iako lepo može da se prevede kao značenje. Treba voditi računa o terminologiji kada se bavimo Fregeom.

U čemu se sastoji problem iskaza identitet? U tome što je identitet, očigledno relacija u kojoj objekt može da stoji isključivo prema samom sebi. Ovde se postavlja pitanje da li to znači da svi iskazi identiteta kažu jedno te isto, odnosno, da je objekt identičan samom sebi? Da li bi onda to sledilo? Svi istiniti iskazi identiteta bi govorili jednu stvar, da je objekt identičan samom sebi. Zar nam nije očigledno da a=a i a=b kažu nešto različito? Ovaj prvi nam je trivijalan, a ovaj drugi je informativan. Ovaj drugi nam kaže da imamo dva imena da stoje umesto jednog te istog objekta. Šta zapravo iskazi identiteta kažu i po čemu se onda ova dva iskaza identiteta razlikuju? a, odnosno b jeste samo jedan način da se ukaže na nekakav objekt. Kao što sam rekla na prošlom času, Frege uvodi jedan tehnički termin za to način da se ukaže na nešto, to naziva smislom. Ova imena na različite načine ukazuju na jedan te isti objekt, otuda imaju različite smislove, a pošto imaju različite smislove, a smisao cele rečenice (princip kompozionalnosti) će zavisiti od smislova njenih delova. Cela rečenica a=b imaće različit smisao u odnosu na a=a. Treba istaći jednu stvar. Kada imamo iskaz identiteta Večernjača je Zornjača. Kakva je analiza ovog suda, ako gledamo formu suda Fregeovu? Onda bi ovo je bilo nešto drugačije od ovog je u Pavle je pisac. Kada imamo iskaze identiteta mi isto koristimo glagol jeste, ali deo je nije deo predikata niti je Zornjača deo predikata na način na koji je pisac deo predikata, nego je Zornjača ime i Večernjača je ime. Kada imamo iskaze identiteta, relati su uvek imena, a imena se odnose na objekte. Zašto je ovo važno? Zato što Frege hoće da tvrdi da se predikat nikada ne može odnositi na objekt. Mi ovako kada zapišemo Večernjača je Zornjača, onda neko ko hoće da dovede u pitanje njegovo oštro razlikovanje između predikata i imena, odnosno, predikata i argumenta, onda može da kaže zar nemamo baš u ovakvim slučajevima kao što je Večernjača je Zornjača, slučaj da je predikat ime, da se predikat odnosni na objekt? Frege će reći ne, to nikako nije tačno, u takvim slučajevima imamo vezu između dva imena. Ovo Zornjača nije deo pedikata, nego je ime.

Sada, vidimo i to je jedna od značajnih kritika, koju mu upućuje jedan Brentanov učenik, on je iznosio kritike ove Fregeove ideje o suštinskoj razlici predikata i imena i dao je onaj čuveni primer Pojam konja je lako shvatljiv pojam. Kada kažemo to, zar onda nemamo situaciju da nam je pojam na mestu subjekta, zar nemamo situaciju da smo govorili o pojmu konja, da je taj pojam lako shvatljiv pojam. Kako Frege odgovara na ovu kritiku? Je lako shvatljiv pojam je ovde predikat, a pojam konja refira na pojam. Frege zapravo da bi odgovorio na ovu kritiku morao bi da zastupa nešto veoma jako i nešto što će biti predmet kritike. Vi kada kažete pojam konja, ili pojam konj, od jednog predikata ste napravili ime. To ste učinili tako, i u jezicima koji imaju članove, tako što ste dodali određeni član. U nemačkom bi bilo Der Begriff, odnosno The Concpet of. Kada ste od predikata biti konj, napravili ili dodali određeni član, odnosno napravili ime, konjstvo ili nešto tako, vi ste dobili jednu sintaksičku jedinicu koja više ne referira na pojam, nego referira na objekt. Imate tu više pretpostavki. Jedna je da ako imate dobro formiranu rečenicu, koja ima smisao, koja je istinita,onda se na mestu predikata referira na pojam, a na mestu subjekta na objekt. Tako sledi iz Fregeove teorije, obzirom da ovaj kontraprimer koji daje upravo to i hteo, i Frege se ne može pozvasti na to kada daje odgovor, otuda ta njegova ideja da zapravo, kada god nekoj imenici dodamo određeni član, ona postaje singularni termin, nešto što referira na tačno jednu stvar. Kada ispred imenice stoji neodređeni član ili kada je ona u množini, onda ona referira na pojam. Odgovor, ono što Frege tvrdi jeste da pojam konja nije pojam. To zvuči neobično, ako kažemo grad Beograd je grad, ali kad ste rekli pojam konja, vi ste ga odredili kao nešto što se odnosi na objekt, a ne kao na subjekt. Možete da naslutite šta je u Fregeovoj teoriji sporno, i ubitačne kritike koju ovoj teoriji upućuje Rasel. Ključni argument jeste kad dodamo određeni član imenici dobijamo singularni termin, dobijamo određenu deskripciju. Možemo da kažemo to i to je najudaljenija planeta od Sunca, kada smo stavili određeni član, to što je figuriralo kao predikat, najudaljenija planeta od Sunca, dobićemo ta najudaljenija planeta od Sunca, kada smo dodali član, napravili smo singularni termin, zapravo, čitavo ovo razmišljanje Fregeovo podržava tezu da su određene deskripcije imena. Kada kažemo da smo dodali član, napravili smo određenu deskripciju, nešto što referira na određeni objekt, prema Fregeu, to znači da je određena despkripcija vlastito ime. Za Fregea je deskripcija ime, to je njegov ključni argument protiv? A ko kritikuje tezu određene deskripcije imena? Rasel. To će kritikovati i Rasel i Vitgenštajn. Generalno uzev, sve što referira na jednu stvar, to je vlastito ime, to ga vodi u još jednu neobičnu tezu, ta je teza da misao nije referencija deklarativne rečenice. Zato što se misao koja izražava deklarativna rečenica može menjati kada se u toj rečenici menjaju koreferntni termini. Frege će reći, ako u rečenici Večernjača je Večernjača, jednu Večernjaču zamenim Zornjačom, dobiću Večernjača je Zornjača. Ako je referncija misao, onda se referencija promenila. To je jedan od pametnih testova. Otkrićemo šta je priroda značenja, šta je referencija rečenice. Istinosne vrednosti su referencija rečenice. To su objekti.

Na prošlom času sam vam dala neformalnu, intuitivnu argumentaciju zašto je u Fregeovom sistemu prirodno da kada pođemo od ideje funkcije i argumenta, da kada imamo predikat, i taj pedikat prediciramo nekom imenu, onda se predikat odnosi na pojam, ime na objekt, ako taj objekt potpada pod taj pojam, kao rezultat ćemo imati istinu, a ako ne potpada imaćemo laž. Vrlo je intuitivno da u ovakvom jednom shvatanju, sistematičnom shvatanju, sve se uklapa, kad je nešto neintuitivno imate objašnjenje u samom sistemu, to je onda sistemski razlog. Kao što je sistemski razlog da je referncija rečenice istina odnosno laž.

Jedno od neintuitivnih teza Fregeove teorije značenja (za mnoge) jeste da ne samo da sve rečenice koje su iskazi identiteta znače jednu te istu stvar, nego sve istinite rečenice imaju isti Bedeutung. Sve istinite rečenice imaju istu refernciju – istinu, a sve lažne rečenice imaju istu refernciju – laž. Ali pošto rečenice referiraju na objekte, govorimo o deklarativnim rečenicama, onda su sve rečenice vlastite imena. Kod Fregea, sve što ima objekt, jeste vlastito ime. Rečenica kao svog referenta ima objekt, onda je rečenica vlastito ime. To imamo kako je pojam vlastitog imena, ima veoma široku ekstenziju, vlastita imena su i obična imena, i određene deskripcije, vlastita imena su i deklarativne rečenice. To strogo razdvaja ovo Fregeovo shvatanja iskaza od kasnijih shvatanja.

Što se tiče teze da su sve rečenice vlastita imena to je teza koju će kritikovati i Rasel i Virgenštajn. Oni će govoriti, za razliku od Fregea, zastupaće teoriju istine kao korespodencije, ja sam vam objašnjavala da Frege ne zastupa teoriju istine kao korespodencije, a osnovni razlog je, ako je istinito bi bio nekakav predikat koji menja izraženu misao, onda bi se i na pozornici razlikovalo kada glumac izgovori Odiseja usnulog iskrcaše na Itaku i Odiseja usnulog iskrcaše na Itaku je istinito… Iz ovakvih razmatranja Frege a i iz druge, Frege izvodi da biti istinito nije osobina rečenice. To je vama naravno jasno, ja sam krenula nekim drugim putem, ja sam vama već istinu, ili laž bila izvela kao objekte na koje se odnosi rečenica, a ne kao predikata. Kada bi istina i laž bili predikati, onda bi oni referirali na pojmove. Biti istinit i biti lažan nisu svojstva rečenice. Za razliku od Fregea, Rasel i Vitgenštajn zastupaju teoriju istine kao korespodencije, to onda znači da biti istinito jeste neka osobina rečenice, to znači da se rečenica odnosi, ako je istinita, na neko stanje stvari, koje tu rečenicu čini istinitom. Koji je argument Raselov i Vitgenštajnov da rečenice ne mogu biti vlastita imena? Ako se rečenica odnosi prema stanju stvari, neko stanje stvari, mi sada sedimo ovde i govorimo o Fregeu jeste nešto što rečenicu Studenti četvrte godine Filozofskog fakulteta sede na času Istorije filozofije 4 je istinito. Ali, isto stanje stvari čini rečenicu Studenti četvrte godine Filozofskog fakulteta NE sede na času Istorije filozofije 4 čini lažnom. Jedno stanje stvari će jednu rečenicu činiti istinitom, a istovremeno će činiti lažnom negaciju te rečenice. To onda znači, da ako bi se rečenica prema stanju stvari odnosila kao ime prema objektu, onda bi svaki objekt imao dva različita imena, tu rečenicu i njenu negaciju. Dakle, rečenice nisu vlastita imena. Budući da rečenice nisu vlastita imena, onda rečenice neće ni imati kao svoju, onda one neće ni imati ono što Frege naziva značenjem, odnosno, neće se odnositi na objekte. To će biti prva razlika u odnosu na Fregeovu teoriju značenja. Ono što će imati značenje je samo ono što zastupa predmet, što se odnosi na objekt, to jest, samo će imena imati značenje. Dok će rečenice imati samo smisao. O tome ćemo govoriti više na sledećem času.

Da vidimo, kako može na nekakav intuitivan način da se objasni zašto bi broj kod Fregea morao da bude objekt. Kada pogledamo, možemo reći da je 0 broj koji stoji uz pojam biti pravougli jednakostranični trougao. Ako 0 stoji uz pojam biti pravougli jednakostranični trougao to onda znači da pojam biti pravougli jednakostranični trougao nema ekstenziju, njegove ekstenzija je 0. Možemo reći da, ako je potentost nešto što broji članove ekstenzije, možemo reći da je potentnost pojma biti pravougli jednakostranični trougao zapravo 0. To je nekakva moja interpretacija koja treba vama da olakša. Onda bismo imali potentnost, pa sad ovog pojma trougla je 0. Mi recimo potentnost pojma biti najsavršenije biće na svetu, bilo bi 1. Kada postavimo stvari na ovaj način, kod pojam biti najsavršenije biće, imaćemo da je potentnost tog pojma broj članova njegove esktenzije 1. Onda vidimo da je negde prirodno, pošto broj dolazi ovde isto kao i ona istinosna vrednost kao rezultat primenjene funckije, da je na mestu objekta. Frege daje drugačiju argumentaciju, to ćete raditi kod Andreja na vežbama, …u prirodnom broju ispred brojeva često imamo određeni član. Ovim su postavljene neke osnove, to je sve što je najrelevantnije u Fregeovoj teoriji značenja, sada bih iskoristila priliku da onu shemu koju smo imali prošlog časa zapravo objasnim u svetlu ovih pojmova o kojima smo danas govorili, a to je ekstenzija pojma. Mi kod Fregea, sećate se one sheme imamo ekstenziju pojma, ali ona je, na onoj shemi koju on daje Huserlu, stvljena skroz negde desno. (pogledati shemu – predavanje Frege i Huserl o pojmu broja, prim. Vanja).

Jedino što je ovde relevantno jeste da je smisao deklarativne rečenice misao koji ona izražava. Kada smo govorili o ovom pojmu, predikat kao svoje značenje ima pojam, isticala sam da je to na neki način neintuitivno, jer bismo mogli da kažemo da je ono na šta neko opšte ime referira, kada kažem stolice, da su stolice, dakle, ono što potpada pod pojam. Intuitivna ideja je da je referencija opšteg imena ekstenzija pojma. Frege će reći ne, pojam jeste referncija predikata, a ovde imamo njegovu ekstenziju. Tu su onda objekti. Ja sam to već pominjala, glavi razlog da opšta imena moraju da imaju referenciju, ne sme da se desi da opšta imena ne smeju da budu prazna. Pojam može da bude prazan, da nema ekstenziju, ali ne sme opšte ime da bude prazno. Opšte ime će uvek referirati na pojam. To je glavni razlog, to je ono zašto je Frege morao da krene… Neću to ponavljati. Argumentacija u prilog tome da imamo istinu i laž kao referenciju rečenice jeste nešto što tera Fregea da uvede ovog ovde posrednika, jer je moralo nešto da bude i u onom intuitivnom smislu značenja, u ovom slučaju smisao A, sada da vidimo kako se ova shema preinačila, danas je najčešće tako, kada govorimo o nekim posebnim teorijama referencije, često ćemo imati ono što je za Fregea bilo na nivou smisla, Sinn-a, će biti intenzija, a ono što je Bedeutung će biti ekstenzija. Onda će se stvari promeniti. Ako ne govorimo o pojmu kao o referenciji predikata, odnosno imena, nego kažemo da je referencija predikata opšteg imena njegova ekstenzija, one stvari koje potpadaju pod to opšte ime, onda, šta mora pojam da bude u odnosnu na opšte ime? Pa, mora da bude njegova intenzija, jer ovo opšte ime mora nešto da izražava, ono izražava pojam, a pod taj pojam nešto potpada. Imaćemo jedan korak manje između opšteg imena i ekstenzije. Sada, šta bi bilo, ako se držimo ovoga da je tačno ili netačno ekstenzija deklarativne rečenice, šta bi bila intenzija deklarativne rečenice? Pa, to je propozicija. Ili, Fregeova misao. Propozicija je reč koju je Rasel preveo Fregeovo Gedanke. On je propozicijom nazvao misao. A, onda, ovde bismo imali problem, ako hoćemo da obršimo shemu da bude dosledna Fregova teorija referencije, kažem karakteristika Fregeove teorije posredne referencije jeste to što uvek smisao, nivo smisla posreduje između jezičkog izraza i onoga… onda bismo ovde imali problem jer bismo ovde morali da govorimo o individualnim pojmovima. Zapravo, ovo razlikovanje esktenzije i intenzije je jedno razlikovanje koje jeste dobrim delom inspirisano Fregeom, to je razlikovanje koje pravi Karnap, negde, ono kako je on postavio razlikovanje između ekstenzije u Meaning and Necessity, ono što je danas najpreovlađujuće. Ono što je važno naglasiti, samo na nekakvom nivou (stupanja?) teorije posredne referencije imamo korelaciju između smisla i referencije, korelaciju između Bedeutunga i ekstenzije. Vidite da se u ovim momentima, ovde ne možemo da kažemo da li se razlikuje, možemo da kažemo da se razlikuje u tom smislu što ne možemo da imamo pojma na nivou Sinna, ali možemo da kažemo da se ne razlikuje, jer postaje nejasno pojam Fregeovog Sinna. Pojam Fregeovog smisla jeste nešto što je predmet najviše kritike, zato što nije jasno šta se pod tim smislom podrazumeva. Ono što čini Fregeovu teoriju intuitivnom i jakom jeste ovo, to je ono što je važno, a to je da je referencija rečenice istina ili laž, odnosno da rečenice imaju različite pojmovne sadržaje. S tim što sad ne bi moglo da se kaže pojmovni sadržaji, pojam nikad bi mogao da bude nešto što je nivou Sinn-a. Pojam je nešto što je na nivou Bedeutung-a.

Završiću argumentacijom koju Frege iznosi i odgovara na primedbu koja mu je upućena. To je da, iz iskaza Saša je Nemac, da li sledi da postoje Nemci? Jedna od primedbi koja mu je izneta je bila da, nedostaje, to je primedba u prilog tome da moramo da imamo egzisteniju kao predikat drugog reda. Iz toga da je Saša Nemac da li sledi da ima Nemaca. Jedan od argumenata protiv Fregea bi bio da moramo da potvrdimo da Saša postoji. Frege na tu primedbu odgovara: da, ako se pod tim podrazumeva da Saša nešto označava, onda u redu, onda mi fali takva premisa, fali mi premisa da Saša postoji. Frege kaže, ali to je pretpostavka koju mora da zadovolji svaki jezik, da ona imena koja smo u njega uveli, označavaju. Čak i kada upotrebimo iskaz Saša postoji, kada pripišemo postojanje, individui, kada upotrebimo predikat drugog reda, to ćemo učiniti, time nećemo pripisati ništa drugo, do da samo to ime ima referenta, odnosno, i to je nešto blisko Kantovom shvatanju predikata postojati, postavili bismo Sašu, odnosno subjekt, da njemu nešto bude predicirano. Kada kažemo Saša postoji, to bi značilo da je Saša element nekog dobro zasnovanog jezika i da onda ima svoju referenciju. Taj jezik ne bi smeo da ima prazna imena.

Frege o pojmu broja[4]

Na koji način Frege definiše broj? Neki standardni oblik je da mi prvo definišemo nulu i jedinicu, a onda definišemo i sledbenike, ali Fregeu takve definicije ne odgovaraju zbog onog razloga što se u tom slučaju neće moći reći da je Julije Cezar broj jedan, ili je u stvari broj četiri. On smatra da je potreban nekakav kriterijum identiteta. Ne treba samo brojeve da razlikujemo od drugih brojeva, već moramo brojeve da apsolutno razlikujemo od svih drugih mogućih objekata. Broj jedan treba da bude tako definisan da se on automatski razlikuje od broja dva, pa i da on ne može biti Julije, Milivoje ili bilo šta drugo. Dakle, brojevi su apstraktni objekti, nisu pojmovi, nisu nam čulno dati, nisu ni u prostoru ni u vremenu, i njih pripisujemo pojmovima, a ne objektima. Ne brojimo objekte neposredno, već tek kad smo ih na neki način identifikovali, kad smo ih podveli pod neke pojmove možemo da ih brojimo. Brojevi su apstraktni objekti jer nulu ne možemo pripisati bilo kojoj čulnoj datosti. Pošto se brojevi pripisuju pojmovima, onda za svaki broj moramo proizvesti pojam kojem će biti pripisan taj broj. Prvo ćemo da odredimo kada različitim pojmovima pripada isti broj, da kažemo kada broj koji pripisujemo pojmu F je isti kao broj koji pripisujemo pojmu G. To je nešto što je preuzeo od Hjuma. Primećuje da se ta jednakost ne pojavljuje samo kada su brojevi u pitanju, nego kada su u pitanju i neke druge stvari. Frege tu pravi nekakve klase ekvivalencije. Frege će pokušati da nam napravi klase ekvivalencije za paralelnost, i polazi od iskaza „dve različite prave imaju isti pravac“ (hrvatski prevod je drugačiji i nije dobar, nije precizan). Sad kada hoćemo da na ovaj iskaz primenimo jednakost, odnosno relaciju identiteta, mi ćemo dobiti novi pojam; a to je pojam pravca. Ideja je da je svaka relacija ekvivalencije neka vrsta uopštenja jednakosti. Kada kažemo da neka dva objekta stoje u nekoj relaciji ekvivalencije (a relacija ekvivalencije ima 3 osobine: da je refleksivna, simetrična i tranzitivna), to znači da te objekte možemo da poistovetimo s obzirom na neki aspekt. Npr. ako su dve osobe rođene u istom horoskopskom znaku, mi njih možemo da poistovetimo u odnosu na njihov horoskopski znak. Ovde u našem primeru sa pravama, imamo relaciju paralelnosti u nekim pravama, ona je relacija ekvivalencije, i relacija ekvivalencije razbija skup pravi na neke klase, i sad te klase nazivamo „pravcima“. Skup gde su neke prave paralelne međusobno u euklidovskoj ravni, takav skup zovemo pravcem. Kažemo da sve prave koje su međusobno paralelne imaju zajednički pravac. Neka prava A je paralelna sa pravom B, akko je pravac prave A jednak pravcu prave B. Drugim rečima, uspostavljanje relacije ekvivalencije omogućava nam da pređemo na nekakve iskaze identiteta među klasama. Salva verite, zamenjivanja onoga što je identično pomoći će Fregeu da dođe do definicije toga šta je to pravac prave A, a pravac prave A je ekstenzija pojma (u tekstu mesto ekstenzije piše obim, a to je loš izraz, ekstenzija je pravilnije), a ekstenzija pojma je „paralelna sa pravom A“. Imamo pojam „biti paralelan sa pravom A“ i pod taj pojam potpadaju samo one prave koje su paralelne pravoj A, znači one ulaze u ekstenziju tog pojma. E sada skup takvih pravih je klasa ekvivalencije koja odgovara pravoj A, i to je pravac prave A. Sličan mehanizam će se sada pojaviti za broj. Mi smo prvo imali neku relaciju definisanu među pravama, relaciju paralelnosti. Ako je ta relacija, relacija ekvivalencije, to nam omogućava da u ontologiju matematike unesemo neke nove apstraktne objekte, kao što je npr. pravac prave A, pa da govorimo o identitetu tih objekata, pa da kažemo; pravac prave A je isto što i pravac prave B akko su one paralelne. Uopšte govoreći, pomoću relacije ekvivalencije možete širiti matematičku ontologiju. Jedan analogan primer, primer koji je sličan sa pravama je primer sa trouglovima. Imamo relaciju sličnosti i imamo neki tougao ABC – taj trugao je sličan sa trouglom DEF, I stoga možemo da zaključimo da je oblik trougla ABC jednak obliku DEF. Relacija sličnosti se opet dokazuje preko relacije ekvivalencije, razdvaja skup svih trouglova na neke klase, i svaka ta klasa je neki oblik. Definicija oblika: obik ABC je ekstenzija od „biti sličan sa trouglom ABC“.

Primena istog i na brojeve – prvo ćemo posmatrati broj koji pripisujemo, pridružujemo pojmu F, je ekstenzija pojma „biti jednak pod brojem sa pojmom F“. E sad, moramo da vidimo šta znači to biti jednak pod brojem. Frege želi da aritmetiku zasnuje iz logike, svi sudovi aritmetike moraju biti analitički i a priorni. Onda će pokušati da tu relaciju jednakobrojosti svede na neku jednostavniju relaciju koja je čisto logička, i ta relacija će biti obostrane jednoznačne korespodencije, ili jednostavnije rečeno relacija bijekcije. Bijekcija ne funkcija koja je 1-1 i na (U matematici, za funkciju iz skupa X u skup Y kažemo da je bijektivna ako za svako y u Y postoji tačno jedan x u X takav da f(x) = y). To jest, svakom originalu odgovara tačno jedna slika, I svaka slika je slika tačno jednog originala; različiti originali slikaju različite slike; I svaki član je nečija slika.

Zašto je ovo važno? Kako smo uveli onaj pojam „pravac“? Uneli smo neki relaciju paralelnosti koji smo uočili među pravama, i onda smo uočili da je ona relacija ekvivalencije. Pa ona razbija skup pravih na klase, pa svaka klasa je jedan pravac. Isto ovako, uočimo među pojmovima neku relaciju, ta relacija je „relacija jednakobrojnosti” (umesto relacija ekvivalencije, pošto se sada radi o brojevima). Ta relacija će razviti pojmove neke klase. Jedna klasa će biti svi oni pojmovi koji su „jednakobrojni“, to znači da su instancirani na istom broju objekata, npr. pojam „planete sunčevog sistema“ je instanciran na 9 objekata. U klasi tog pojma biće i svi oni drugi pojmovi koji su instancirani na tačno 9 objekata. Broj 9 ćemo onda poistovetiti sa extenzijom pojma „biti jednak broju odgovarajućem pojmu“ (u ovom slučaju je to 9). E ova ideja je potekla od Hjuma. Uvođenjem bijekcije, što je Hjumova ideja, ta bijekcija, ili jednoznačno obostrano pridruživanje, je primarnija u odnosu na nekakvo brojanje. Tada će reći, da bi neko konobar znao da je on postavio jednak broj kašika i viljušaka na stolu, on ne mora da prebroji sve kašike pa da zatim prebroji i sve viljuške da bi video da je taj broj jednak, već on će pridružiti jedan predmet drugome. Svakoj kašici pridruži jednu viljušku i tako uspostavi bijekciju (jednoznačno obostrano pridruživanje) i zaključuje da ih ima isti broj, iako nije utvrdio koliko ih ima. Da se poredi da li pod dva pojma potpada isti broj objekata, za to nije neophodno da se utvrdi koliki broj objekata potpada pod prvi a koliki pod drugi pojam. Hjum je prvi koji je došao na ovu ideju, i zato mu treba odati počast, i ta ideja je danas predočena. U matematici se danas definiše da dva skupa imaju istu kardinalnost, odnosno isti broj članova, AKKO između postoji jedna bijekcija. Sada Frege koristi istu tu ideju. On insistira na konteksualnim definicijama, pokušaće da nekakve iskaze prevede u nekakve kontekstualne definicije. Npr.: „pojam F je jednakobrojan pojmu G”, to kada bi se prevelo u kontekstualnu definiciju glasilo bi „postoji nekakav odnos P koji predmete koji potpadaju pod F jednoznačno obostrano prodružuje predmetima koji potpadaju pod G“. Frege ima ovu definiciju broja, ali ono što će mu takođe biti važno jeste da pokaže da postoji taj nekakav broj n, i iz toga on sada izvodi sve brojeve. Drugačije rečeno: uspostavljena je bijekcija između F i G, tj. Ima onoliko F-ova koliko ima i G-ova (jednakobrojnost). Relacija jednakobrojnosti (tj. ekvivalencije) razbija pojmove na klase ekvivalencije. Sad, u klasi koja odgovara ovom pojmu F biće svi oni pojmovi koju su jednakobrojni pojmu F. Svi oni koji su instancirani na tačno onoliko objekata na koliko je instanciran pojam F. Broj n će biti poistovećen sa klasom tih pojmova. Ako bi smo pojam posmatrali ekstenzionalno, broj 3 bi bio klasa svih tročlanih skupova; broj 4 bi bio klasa svih četvoročlanih skupova. Ja ovde koristim reči skup i klasa na način na koji ih koristi Rasel, potpuno sininimno. Ako ne posmatramo ove pojmove tako ekstenzionalno, onda bi broj 3 bio skup svih pojmova koji su instancirani na 3 objekta.

Dakle on prvo odredi kako definišemo sledeći izraz: „pojmu F pripada isti broj kao pojmu G“. Pa to definiše na sledeći način: AKKO su oni jednakobrojni, a jednakobrojni su AKKO možemo između da uspostavimo jednoznačnu obostranu korespodenciju (tj. bijekciju). Ali samim ovim definisanjima mi još uvek nismo zadovoljni. Zašto? Sad ako mi neko kaže – broj koji pripada pojmu „planete sunčevog sistema“, da li je on jednak broju pojma „ljudi na zemlji“ – ja sad proverim i ustanovim da nije, po ovom kriterijumu. Ali! Sada kaže Frege, ne mogu da utvrdim šta je istinitost iskaza kada kažem da broj koji pripada pojmu F je jednak, i sada ne popunim onaj ostatak sa nečim što počinje broj koji pripada, npr. jednak Juliju Cezaru – šta da radim sa tim iskazom? Čak i on kaže, „broj koji pripada pojmu planete sunčevog sistema jednak je Engleskoj“; da li je to istinito ili lažno? Zanimljivo je da Frege hoće da to bude, istinito ili lažno, ne želi da takve iskaze proglasi besmislenim. Kako da ustanovimo istinitost između iskaza identiteta i brojeva koji pripadaju nekakvim pojmovima, a nismo rešili pitanje kako ćemo da ustanovimo da li je istinit iskaz kojim se tvrdi identitet između broja i nečega što uopšte nije broj? On će reći da moramo prvo da definišemo šta je broj, da je broj ekstenzija pojma, a ekstenzija je objekat. Znači broj koji pripada pojmu F je extenzija pojma „biti jednakobrojan pojmu F“. Ta ekstenzija nije jednaka niti Juliju Cezaru, niti Dunavu, i sad smo rešili pitanje istinitosti i ovakvih rečenica. Znači, kada neko kaže „broj koji pripada pojmu „planete sunčevog sistema“ je jednak „Juliju Cezaru““ – to je za Fregea lažan iskaz, a nije besmislen (kao što je za Karnapa). Kad Frege kaže da je jedan pojam definisan, odnosno da je definisana reč za taj pojam? Onda kada je jasno da za svaki objekat možemo utvrditi da li on potpada pod taj pojam koji definišemo, ili ne. Na primer, kad hoćemo da definišemo pojam žirafe, mi prvo moramo da utvrdimo kriterijum prema kome za svaki objekat možemo da kažemo da li on potpada pod pojam žirafe, ili ne. Za to nije dovoljno samo da žirafu razlikujemo od slonova ili drugih životinja, već da je razlikujemo i od ljudi kao što je Julije, i od brojeva, itd. Tako i ovde, nije dovoljno da razlikujemo brojeve samo među sobom, već je neophodno da ih razlikujemo i od svih drugih objekata. Zašto je ovo važno? Ako posmatramo neke primere koje Karnap navodi kao primere besmislenih iskaza, i njegov primer je iskaz „Julije Cezar je prost broj“. Po Karnapu je to besmislen iskaz zato što pripisujemo jednom objektu neodgovarajuće svojstvo; svojstvo „prost broj“ možemo da pripišemo samo brojevima, i to čak samo određenim vrstama brojeva. Po Fregeu ovaj iskaz nije besmislen, zato što za ovaj pojam „prost broj“ mora biti moguće odrediti za svaki objekat da li on potpada pod taj pojam ili ne. Stoga, pod prost broj potpada 2,3,5, ali među objektima koji potpadaju nema Julija Cezara. Pošto Julije Cezar ne potpada pod „prost broj“, iskaz „Julije Cezar je prost broj“ je lažan, nije besmislen. Frege bi mnoge rečenice uvrstio u smislene koje drugi filozofi ne bi. Zašto? Pa definicija te pojmovne reči mora da bude takva da za svaki, baš svaki objekat bude određen da li on potpada pod određeni pojam ili ne. Posle toga Frege će odrediti šta znači „slediti jedinicu“, uvodi nulu i jedinicu. Kada uvodi nulu kaže da ona stoji uz pojam „biti nejednak samom sebi“. Kod njega pod „biti nejednak samom sebi“ ne potpada ništa, jer svaki objekat je jednak samom sebi. Pošto pod ovaj pojam ne potpada ništa, on nije instanciran nijednim objektom, stoga mu pripada broj nula. Ovaj pojam, kaže Frege, je protivrečen ali to nije nikakav problem. Mi možemo koristiti nekakve prazne pojmove koji nisu protivrečni, nego su samo kontigentno prazni. Na primer, „krilati konj“, nema krilatih konja i to nije nužno nego samo kontigentno; to je zapravo ta neka klasa ekvivalencije kojoj mi pripisujemo nulu. Opet primer, „planeta koja je bliža Suncu od Merkura“, pod taj pojam ne potpada ništa, stoga to je pojam kojem takođe pripada nula. Ali! Kod njega ne potpada ništa samo na kontigentan način, i Frege nije time zadovoljan. Zašto? Pa zamislimo da se sada izmeni situacija u svemiru i pojavi se tako neki, i oni su odjedanput promenili značenje matematičkog termina kao što je „broj 0“. Ne bismo hteli da značenja matematičkih termina zavise od bilo kakvih osobina iskustvenih stvarnosti. Zato je važno da definišemo, ne preko nečega što je samo kontigentno neistancirano, već preko nečega pod šta nužno ništa ne potpada, i zato bira pojam „biti različit od samog sebe“. Sledeći njegov korak je definisanja broja 1. Broj 1 pripada pojmu „biti jednak samom sebi“, ili „ne biti jednak nuli“. Broj nula je ekstenzija pojma „biti jednakobrojan pojmu ’biti različit od samog sebe’“. Broj 1 je ekstenzija pojma „biti jednakobrojan pojmu ’biti jednak nuli’“. Zašto „biti jednak nuli“? Pa koliko objekata potpada pod taj pojam? Pa samo jedan objekat, i taj objekat je 0. Definisali smo šta je broj 0, a sad kad uzmemo pojam ’biti jednak nuli’ pod njega potpada samo 0, on je instanciran na jednom objektu; i onda tom pojmu ’biti jednak nuli’ pripada broj 1. Stoga, broj 1 je ekstenzija pojma „biti jednakobrojan sa ’biti jednak nuli’“. On takođe uvodi izraz „slediti nizu prirodnih brojeva“, reći će da postoji pojam F i predmet X koji potpada pod taj pojam, takav da n je broj koji pripada pojmu F, i m broj takav da pripada pomu koji podpada pod F ali nije jednak sa X; to bi značilo da m sledi iza n. Na primer, pojam „biti planeta sunčevog sistema“, u sunčevom sistemu ima 9 planeta (ako uračunamo i Pluton), i pod ovaj pojam F, tj. pojam „biti planeta S sistema“ potpada Merkur. Broj koji pripada ovom pojmu je 9, a sad pod pojam „biti planeta S S“ izdvojimo jedan objekat koji potpada pod ovaj pojam; „biti planeta S S, a različit od Merkura“, koliko potpada pod ovaj pojam? Pa 8 a to upravo znači da je broj 9 iza broja 8 u nizu prirodnih brojeva. Ako imamo pojam F pod koji potpada M objekata, a onda među tim objektima uočimo jedan objekat A, a zatim ga izbacimo iz ove ekstenzije, i napravimo pojam „imati svojstvo F, a biti različit od A“ i ako pod taj pojam potpada M objekata, ako tom pojmu pripada broj N, e onda mogu da kažem da ovaj N koji je pripisan celom F zajedno sa A, sledi iza M neposredno u nizu prirodnih brojeva. Tako se definiše neposrednost relacija, slediti neposredno iza nekog broja u nizu prirodnih brojeva. I tako možemo da dokažemo da broj 1 sledi neposredno u nizu iza nule u nizu prirodnih brojeva.

Još neke stvari smo preskočili, a to je ovo. Mi smo rekli kada neki broj koji pripada pojmu F je isti onaj koji pripada pojmu G, ali otkud znamo da istom pojmu ne možemo da pripišemo dva pojma. Nešto je broj ako postoji pojam kome to pripada kao broj. Znači, za svaki broj moramo da proizvedemo pojam kome se on pridružava, proizveli smo za nulu. Za nulu je odgovarajući pojam “biti različit od samog sebe“, za jedinicu je odgovarajući pojam „biti jednak nuli“. E sad, ne možemo ići broj po broj, već moramo naći neki opšti nači pravljenja pojmova kojima će biti pripisani njegovi brojevi. Broj n, proizvoljan prirodni broj, on se definiše ovako: to je ekstenzija pojma „biti jednakobrojan pojmu ’biti član niza prirodnih brojeva koji se završava sa n-1’“. Šta je znači broj 2? Pa broj 2 će biti pripisan pojmu „član niza prirodnih brojeva koji se završava sa 1“. Imamo 2 člana, 0 i 1, postoje dva objekta koji potpadaju pod pojam „član niza prirodnih brojeva koji se završava sa 1“ to su 0 i 1. Pošto ih ima dva, tom pojmu pridružavamo 2, pa je broj 2 onda definisan kao ekstenzija pojma biti jenakobrojan pojmu „biti član niza prirodnih brojeva koji se završava sa 1“ i tako se induktivno definišu prirodni brojevi. Ali predhodno se pozivamo na relaciju „biti član niza prirodnih brojeva koji se završava sa n“, kako tu relaciju definišemo? Ovde se bavimo heriditarnim ili naslednim svojstvima. Primer hereditarnog svojstva je svojstvo „biti otac“ koje formira jedan lanac, i u tom lancu je svaki prethodni otac onog člana posle. Kroz taj lanac nasledno se prenosi svojstvo „biti muški predak“. Frege će preko hereditarnih svojstava definisati brojeve. Definisao je relaciju „neposredno slediti u nizu prirodnih brojeva“, imamo 0 i iza nje neposredno sledi 1, 2 neposredno sledi iza 1 u nizu prirodnih brojeva. Dakle, ako imamo n, njemu neposredno prethodi n-1, a n-1 neposredno predhodi n-2. U lancu neposrednog predhođenja to svojstvo „biti član niza prirodnih brojeva koje se završava sa n“ nasleđuje. Ako je n član niza prirodnih brojeva koji se završava sa n, onda n-1. Ako n-2 neposredno prethodi n-1, onda ono takođe nasležuje svojstvo „biti član niza prirodnih brojeva koi se završavaju sa n“. Drugim rečima, ako imamo n i ako neko x ima svojstvo da je član niza prirodnih brojeva koji se završava sa n, onda sve što je u relaciji „neposredno prethodi x“ takođe ima to svojstvo. To svojsvtvo je nasledno u lancu neposrednog prethođenja. I na taj način odredi pojam „biti član niza prirodnih brojeva koji se završavaju sa n“. Ako svaki objekat prema kome X stoji u relaciji j (relacija nasledan u nizu), potpada pod pojam F, i ako iz toga što D potpada pod pojam F (šta god bilo D), sledi da svaki predmet prema kome D stoji u odnosu j, takođe potpada pod pojam F → onda Y potpada pod pojam F, to znači isto što i: u F-u u j nizu Y sledi iza X.

Kako ćemo da definišemo „biti član prirodnih brojeva koji se završavaju sa n (ili bilo kojim drugim brojem)“? Ako ima ovde jedan j lanac, i u tom lancu imamo X,A,B,C,…,Y. Kad mogu da kažem da ovo Y pripada ovom j nizu koji počinje sa X? Ako iz toga što je nešto u odnosu j prema X-u sledi da ima svojstvo F, i kad god nešto ima svojsvo F, onda je bilo šta što je u odnosu j prema njemu ima svojstvo F. ako iz te dve stvari sledi da Y ima svojstvo F, onda na osnovu svega toga mogu da zaključim da Y sledi u j lancu koji počinje sa X. Ovo F je hereditarno u odnosu na taj j niz. Dakle, prvo odredi šta znači slediti u tom nekom j lancu, to znači imati svojstvo koje je nasledno u tom lancu, i na osnovu toga možemo da zaključimo da zato što znamo da su neka svojstva nasledna u tom lancu, zaključujemo da neko Y ima sva ta svojstva, te sledi da je Y deo tog lanca. Onda, kada to utvrdimo, od ovog j lanca napravimo lanac neposrednog sleđenja. Onda smo definisali šta znači biti deo lanca neposrednog sleđenja, i deo niza prirodnih brojeva koji počinju sa X-om. Ako je Y deo niza prirodnih brojeva koji počinju sa X, onda je i X deo niza prirodnih brojeva koji se završava sa Y. Sad automatski imamo definiciju šta znači biti član niza prirodnih brojeva koji se završava sa n, a tom pojmu pripada broj n+1. A šta znači biti broj? To znači, biti broj koji pripada nekom pojmu. Na primer, ako se pitamo da li je 16 broj, to jeste broj. Zašto? Zato što je to broj koji pripada pojmu „biti član niza prirodnih brojeva koji se završava sa 15“. A sad napravimo sam pojam „biti broj“, koji broj pripada pojmu „biti broj“. Konačan broj je onaj koji u nizu ne sledi iza samog sebe, a beskonačni brojevi su oni koji u nizu brojeva mogu da slede sami iza sebe. Beskonačni broj je onaj koji je sam svoj sledbenik.

Fregeova definicija broja, kao što smo videli, ima korelaciju poretka. Nismo govorili o uređenju, uvek smo govorili o tome koji je broj veći, a koji manji od koga. Mi naknadno možemo da uvedemo uređenje, ali sama poenta je da se on nije pozivao na neke relacije poređenja i uređenja da bi uopšte definisao broj. Kantor je to radio, pa zato Frege smatra da njegova definicija ima manje pretpostavki. Kod Fregea u jeziku prvog reda ne možemo definisati teoriju, napraviti takvu aksiomatsku teoriju tako da jedina stvar koja zadovoljava te aksiome bude naš skup prirodnih brojeva. Ne možemo da izbegnemo da imamo nestandardne interpretacije. Važno je napomenuti da Frege u svojim spisima nije razlikovao logiku prvog reda od logike drugog reda. Logika prvog reda je ona logička teorija u kojoj nam kvantifikatori prevode isključivo preko individua, a u logici drugog reda pored predikatskih konstanti imamo i predikatske promenljive. U logici prvog reda možemo da kažemo „postoji neki objekat X takvo da ima određeno svojstvo“, a u logici drugog reda možemo da kažemo „postoji svojstvo F takvo da važi…“ ili „za sva svojstva važi da…“ – dakle, može da se kvantifikuje ne samo po objektima, nego i po svojstvima.

U zaključku Frege će se baviti uvođenjem ostalih brojeva, kompleksnih brojeva, itd. On tu kritikuje formalizam i Henkela kao njegovog predstavnika. Frege je više okrenut platonizmu, to je realizam u filozofiji matematike. Razni matematički izrazi su u stvari izrazi koji su imena objekata, samo to su apstraktni objekti. Poređenje sa geografom; matematičar je isto kao i geograf, on ne stvara ništa novo nego samo otkriva i opisuje već postojeće. A sa druge strane je konstruktivizam i njegov predstavnik Brauer koji je uticao na Vitgenštajna. Treći pristup u filozofiji matematike je formalizam, koji se pretežno vezuje za Hilberta. A formalizam kaže da matematički znaci nemaju nikakvo značenje. Niti referiraju na nekakve objekte, niti imaju ikakav smisao. Baviti se matematikom znači samo operisati simbolima. Ideja formalizma je transformisati matematiku, osloboditi je od značenja i svesti je na sintaksni nivo.

Miroslav Ostojić

Rađeno na osnovu predavanja profesora Andreja Jandrića i Miroslave Trajkovski. Neke delove o Džejmsu, poznom Vitgenštajnu i Kvajnu, kao i poglavlje o Brentanu i Huserlu, odradio je Đorđe Cvetković.

Tekstovi o filozofiji na portalu P.U.L.S.E

Literatura:

• Frege, Osnove aritmetike i drugi spisi, Kruzak, Zagreb, 1995
• Gotlob Frege, „O smislu i nominatumu“ (preveli Mirjana Đukić i Aleksandar Pavković), Ogledi o jeziku i značenju (priredili Živan Lazović i Aleksandar Pavković), Filozofsko društvo Srbije, Beograd, 1992.

  Analtička filozofija, broj, D.O.M.I.N.E, Frege, Miroslav Ostojić