Zlatni rez

Geometrija posjeduje dva velika blaga: jedno je Pitagorin poučak, a drugo zlatni rez. Prvo se može usporediti sa čistim zlatom, a drugo s draguljem neprocjenjive vrijednosti.

Johannes Kepler

U našem svakodnevnom životu neprestano se susrećemo s matematikom i geometrijom. Svijet koji oblikuje čovjek prepun je pravih kuteva, crta i predmeta pravilnih geometrijskih oblika. Matematika je danas obična, svjetovna znanost, ona je alat kojim se služimo da bismo brojali, računali, mjerili i upravljali svijetom oko sebe. Pritom zaboravljamo ono dublje, metafizičko značenje matematike i geometrije o kojem su govorili mnogi matematičari i filozofi.

Pitagora je smatrao da u osnovi svega leži broj i da je čitav svemir jedna matematička struktura. Zato putem geometrije, koja se bavi redom u prostoru kroz mjerenje odnosa među različitim oblicima, možemo istraživati principe koji vladaju u svemiru. Matematički odnosi i brojevi postoje a priori, oni mogu, ali ne moraju imati svoju paralelu u pojavnom svijetu. Cilj je geometrije omogućiti čovjekovoj svijesti da stvori kanal putem kojeg materijalna razina, razina manifestiranih oblika, može poprimiti apstraktne, kozmičke principe.

Istražujući odnose među oblicima, matematičari su došli do nekih čudesnih brojeva, poput e, baze prirodnog logaritma, ili π (pi), odnosa opsega kruga i njegova promjera, koji kao da izrastaju iz temeljne strukture kozmosa. Jedan od takvih brojeva je i Φ (phi, fi), zlatni broj, zlatni rez ili zlatni razmjer.

Omjer i razmjer

Zlatni rez se brojčano može izraziti kao konstanta čija veličina iznosi 1.6180339…, ali njegovo značenje nije toliko u njegovoj numeričkoj vrijednosti, koliko u razmjeru koji određuje. Da bismo ovo razumjeli, moramo razjasniti pojmove omjera i razmjera (proporcije). Omjer je odnos dviju mjera, veličina, količina ili dvaju svojstava i izražava se formulom a : b. Tako omjer predstavlja mjeru različitosti, i to različitosti koju može spoznati barem jedno od naših osjetila. Odnos a : b nije samo osnovni pojam za sve aktivnosti opažanja, nego označava i osnovni proces inteligencije gdje simbolizira usporedbu između dviju stvari, što je osnova za stvaranje prosudbi.

Proporcija je, međutim, složenija. Razmjer ili proporcija znači jednakost između dvaju odnosa, tj. kada se jedan element prema drugom odnosi kao treći prema četvrtom, a izražava se formulom a : b = c : d. To predstavlja finiju razinu inteligencije od odgovora na jednostavnu različitost odnosa. Stari Grci su to nazivali analogija.

Pitagorejci su razlikovali dva tipa analogije. Prvi je definiran prije navedenom formulom i sastoji se od četiriju različitih elemenata. Taj se tip proporcije naziva diskontinuirani. Ali ako se ograničimo na  samo tri elementa razmjera, dobit ćemo bitno egzaktniji odnos koji možemo izraziti formulom a : b = b : c.

Ovo se naziva kontinuirana proporcija, jer su dva omjera povezana jednim zajedničkim elementom.

Međutim, ta tri elementa razmjera možemo reducirati na samo dva. Jedini prirodni aritmetički razmjer koji možemo dobiti sa samo dva elementa izražava se formulom a : b = b : (a + b), gdje se manja veličina prema većoj odnosi kao veća prema zbroju obadviju veličina. Ovaj se razmjer naziva zlatni razmjer.

Numerička vrijednost broja Φ je (√5+1)/2 ili približno 1.6180339.

Fibonaccijev niz brojeva

Uz zlatni broj Φ vezane su mnoge matematičke zanimljivosti. Primjerice, bilo koju potenciju broja Φ možemo dobiti tako da zbrojimo dvije prethodne potencije. Npr. Φ ⁴ + Φ ⁵ = Φ ⁶

Fibonaccijev niz brojeva, nazvan po talijanskom matematičaru Leonardu Fibonacciju iz XIII. stoljeća, jedan je od načina na koji možemo generirati Φ. Prva dva člana Fibonaccijeva niza su 1 i 1, a svaki sljedeći član dobije se tako da se zbroje prethodna dva:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610…

Ako bilo koja dva uzastopna člana međusobno po­dijelimo, dobit ćemo niz brojeva koji osciliraju oko broja Φ; što je vrijednost članova niza veća, to će vrijednost koju dobijemo njihovim dijeljenjem biti bliža broju Φ. Npr:

8 : 5 = 1.6
13 : 8 = 1.625
…
377 : 233 = 1.6180257…
610 : 377 = 1.6180371…

Iako Fibonaccijev niz počinje s 1, 1, niz je moguće započeti s bilo koja dva broja. U svakom nizu ovakvog tipa, omjer uzastopnih članova težit će prema Φ.

Zlatni pravokutnik

Zlatni pravokutnik je onaj pravokutnik kod kojeg je omjer duže i kraće stranice jednak Φ. Na slici je prikazana geometrijska konstrukcija zlatnog pravokutnika iz kvadrata.

1. Odredimo točku E, polovište stranice AB kvadrata ABCD.
2. Povučemo dužinu koja spaja točke C i E.
3. Šestarom povučemo luk sa središtem u točki E i odredimo točku F. Pravokutnik BDGF je zlatni pravokutnik.

Ako iz zlatnog pravokutnika izrežemo kvadrat čija je stranica jednaka manjoj stranici pravokutnika, pravokutnik koji nam je preostao također će biti zlatni. Tako je na gornjoj slici i pravokutnik ACFG zlatni.

U geometriji se Φ pojavljuje i kod nekih pravilnih geometrijskih likova, npr. kao odnos polumjera kruga i stranice pravilnog deseterokuta oko kojeg je krug opisan, ili kod pentagrama, gdje je svaka dužina podijeljena prema zlatnom rezu.

Zlatni rez u prirodi

Zlatni rez i Fibonaccijevi brojevi pojavljuju se na mnogo mjesta u prirodi, a brojne studije potvrđuju njihovu učestalost. U svijetu prirode rast znači dodavanje određene količine jedinki već postojećima, makar te jedinke bile sitne poput molekule. Čini se da je upravo Φ idealna mjera za rast takve vrste. Dobar je primjer za to prelijepa kućica glavonošca iz roda Nautilus. Ona raste u obliku spirale koja se u svakom krugu povećava razmjerno broju Φ. Grananje kao još jedan oblik prirodnog rasta odvija se prema Fibonaccijevu nizu brojeva.

Logaritamska spirala, otkrivena u položaju koji ljudski i životinjski fetus zauzimaju u posteljici, prisutna je i u modelu rasta mnogih biljaka. Raspored sjemenki kod cvijeta suncokreta slijedi logaritamsku spiralu na bazi zlatnog reza. Nadalje, suncokret ima 55 spirala u smjeru kazaljke na satu koje se nalaze preko 34 ili 89 spirala položenih suprotno od smjera kazaljke na satu. Ove brojeve prepoznajemo kao dio Fibonaccijeva niza koji generira broj Φ.

Zanimljiv primjer Fibonaccijeva niza u prirodi možemo pronaći kod pčela. Kod njih je jedinstveno da trutovi nastaju iz matičinih neoplođenih jajašaca, tako da imaju samo majku, dok ženske radilice imaju i majku i oca. Ali i kod jednih i kod drugih, ukupan broj pčela svake generacije slijedi Fibonaccijev niz brojeva.

Zlatni rez, vezano uz njegovo pojavljivanje kod pentagrama, možemo pronaći kod svakog cvijeta s pet latica. Porodica ruža, kao i cvjetovi svih jestivih voćaka, imaju pet latica ili broj latica koji je višekratnik broja pet. Tradicionalna medicina smatra da kroz taj broj biljke daju čovjeku znak da su jestive.

Čovjek i zlatni rez

Kanon ljudskog tijela, odnosno opis prosječnih i idealnih mjera ljudskog tijela, bio je predmet čovjekova interesa još od najstarijih vremena. Poznati su nam kanoni iz doba faraona, Polikletov, Leonardov, Albertijev, Michelangelov i brojni drugi. U mnogima od njih, ljudsko je tijelo promatrano kao složen sustav odnosa koji se izjednačavaju u zlatnom rezu.

Prema egipatskim, grčkim i japanskim kanonima, pupak dijeli čovjekovo tijelo prema zlatnom rezu, dok se spolni organi nalaze točno na polovici čovjekove pune visine. Ovo označava povezanost seksualnosti s funkcijom dualnosti, podjele na dva, tj. reprodukcije. Kod rođenja, međutim, pupak se nalazi na pola visine djetetova tijela i tijekom rasta pomiče se na točku zlatnog reza. To simbolički označava kretanje dualne, spolno podijeljene prirode prema harmoničnijem odnosu koji simbolizira zlatni rez.

Zlatni rez u umjetnosti

Otkako je čovječanstvo počelo razmišljati o geometrijskim oblicima svoga svijeta, brojne prirodne, filozofske i estetske studije bavile su se zlatnim rezom. Zlatni je rez bio prisutan u sakralnoj umjetnosti Egipta, Indije, Kine i drugih drevnih civilizacija. Dominirao je u grčkoj umjetnosti, ostao skriven, ali prisutan u gotičkom srednjem vijeku, da bi ponovno bio slavljen u renesansi.

Možda najslavniji primjer primjene zlatnog reza u umjetnosti je Partenon, grčki hram posvećen božici Ateni koji su sagradili arhitekti Iktin i Kalikrat. Kod Partenona je zlatni pravokutnik prisutan i u pročelju i u tlocrtu hrama. Omjeri veličina pojedinih dijelova hrama, sve do najsitnijih, predstavljaju razmjer zlatnog reza. Grčki su umjetnici ovaj princip razumijevali ne samo kao odnos dužina, nego i kao odnos površina, zavladavši na taj način beskrajem lijepih oblika.

Analize pojedinih autora pokazuju da je u većini klasičnih građevina na neki način ugrađen zlatni rez. Fidija (Phidias), kipar čija djela krase Partenon, svoje je kipove proporcionirao prema ovom razmjeru. Zato je američki matematičar Mark Barr dvadesetih godina prošlog stoljeća predložio da se numerička vrijednost zlatnog razmjera označi slovom Φ (phi) prema prvom slovu imena čuvenog kipara.

Iako se zlatni rez najčešće veže uz grčku umjetnost, on je bio poznat i ranije, još u vrijeme Babilonaca i Egipćana. Grci su od Egipćana preuzeli ideju da pomoću osnovnih geometrijskih likova (kvadrata, kruga i istostraničnog trokuta) te razmjera poput zlatnog reza prenesu principe makrokozmosa u čovjeku bliži svijet mikrokozmosa. Grob Ramzesa IV. u Dolini kraljeva lijep je primjer povezivanja arhitekture i sakralne geometrije. Naime, Ramzes IV. sahranjen je u grobnici uklesanoj u stijeni u trostrukom sarkofagu. Sarkofag u kojem se nalazilo tijelo bio je u obliku dvostrukog kvadrata, a srednji sarkofag bio je u obliku zlatnog pravokutnika. Treći, vanjski sarkofag, sastojao se od dva takva pravokutnika. Geometrijska analiza predmeta pronađenih u grobnicama pokazala je da su i oni oblikovani korištenjem kvadrata i zlatnog reza, što pokazuje prisutnost sakralne geometrije ne samo u velikim arhitektonskim formama, nego i kod najmanjih svetih predmeta.

Zlatni rez ne pojavljuje se samo u arhitekturi. Analiza kompozicije slike Krštenja Kristova Piera della Francesce pokazuje nam da je ova slika zapravo geometrijska alegorija principa Svetog Trojstva, pri čemu Sveto Trojstvo slijedi geometrijski simbolizam zlatnog reza. Kristovo tijelo smješteno je unutar površine.

1 × 1/Φ ³, a njegova visina je 3 × 1/Φ ³. I drugi elementi kompozicije vođeni su sličnim principima, u skladu s kršćanskim simbolizmom, npr. položaj Kristova srca, pupka, ruke Sv. Ivana itd.

Na slici Piera della Francesce Krist povezuje geometrijskom, matematičkom logikom pojmove duha i materije, univerzalnog i individualnog, konačnog i beskonačnog. Upravo harmonizacija s onim višim, nama teško dokučivim sferama bila je cilj svih istinskih filozofa. Za mnoge od njih zlatni rez je bio izravna veza s tim sferama, njihova manifestacija u našem nesavršenom pojavnom svijetu. Bilo bi pretjerano reći da se zlatni rez nalazi posvuda u prirodi, ali gdje god opazimo pojavu izuzetne ljepote i sklada, najčešće ćemo otkriti prisutnost zlatnog reza. On je podsjetnik na srodnost našeg pojavnog svijeta s njegovim savršenim izvorom i s njegovom potencijalnom budućom evolucijom.

  Fibonačijev niz, Nova Akropola, priroda, Umetnost, zlatni presek